Rette dei numeri e diagrammi cartesiani

Immagina di avere un segmento e di misurarne la lunghezza in centimetri a partire da uno degli estremi, su cui fissi lo 0 del righello. Immagina anche che il segmento sia lungo 6 cm: allora potresti scrivere sull’altro estremo del segmento il numero 6. Ora immagina di segnare la metà del segmento: se lo misuri fino a quel punto ottieni 3 cm, che puoi scrivere nel punto segnato. Se ora segni un punto a caso sul segmento e lo misuri fino a quel punto, puoi scrivere lì la misura ottenuta. Continuando di questo passo, puoi immaginare che ad ogni punto del segmento corrisponda un valore numerico compreso fra 0 e 6 (che in questo esempio sarebbe la misura della lunghezza del segmento fino a quel punto).

Immagina ora di prendere lo stesso segmento di prima e di misurarlo in millimetri, mettendo lo 0 del righello sempre sullo stesso estremo di prima. Allora otterrai che sull’altro estremo ci sarà il numero 60 e sul punto centrale il numero 30: anche su tutti gli altri punti ci saranno valori numerici diversi da prima (dieci volte più grandi).

Immagina ora di prendere lo stesso segmento di prima e di misurarlo in pollici, mettendo lo 0 del righello inglese sempre sullo stesso estremo di prima. Allora otterrai che sull’altro estremo ci sarà il numero 2,36 e sul punto centrale il numero 1,18: anche su tutti gli altri punti ci saranno valori numerici diversi da prima.

Da questo esempio puoi capire che...

In pratica: ad ogni punto del segmento puoi associare un valore numerico, tuttavia, per stabilire esattamente quale sia questo valore, è necessario fissare sia la posizione del punto di partenza, sia l’unità di misura utilizzata.

Fai attenzione: non esiste una associazione “assoluta” fra un certo punto del segmento e un certo valore numerico, perché cambiando il punto di partenza, o l’unità di misura, il valore associato ad ogni punto cambia. Ciò che resta vero è che ogni punto avrà uno ed un solo e preciso valore numerico corrispondente, una volta fissati il punto di partenza e l’unità di misura.

Retta dei numeri

In base a quello che hai visto sul segmento, puoi anche ipotizzare che qualsiasi punto preso su una retta geometrica corrisponda ad un numero (che puoi immaginare come la lunghezza del segmento che va dal punto si partenza fino al punto considerato, nell’unità di misura scelta) e che, viceversa, qualunque numero corrisponda ad un preciso punto di una retta geometrica.

Definizione: una “retta dei numeri” è una normale retta sulla quale ad ogni punto immaginiamo di far corrispondere un numero. Il punto che corrisponde al numero 0 è scelto a caso sulla retta e si chiama “origine”.

Tenendo in considerazione gli esempi sul segmento, oltre alla posizione dello 0 dobbiamo fissare anche la posizione dell’1, sia perché questo corrisponde a fissare l’unità di misura, sia perché l’1 può stare sia a destra che a sinistra dello 0: in altre parole, le rette dei numeri hanno un verso.

In pratica: il verso di una retta dei numeri segnala in quale direzione crescono i numeri ed è indicato da una freccia. Quindi la freccia:

Va messa sempre su uno degli estremi della retta.
Va solo su uno dei due estremi del disegno, perché i numeri non crescono in entrambe le direzioni!

Di solito i numeri si fanno crescere verso destra...

Ma non è assolutamente obbligatorio, se conviene ragionare al contrario, allora si fa il contrario...

In pratica: quando disegni una retta dei numeri, devi sempre specificare:

la posizione dell’origine (dove si trova lo zero!)
la lunghezza dell’unità (dove si trova l’uno!)
il verso in cui crescono i numeri (disegnare la freccia)

Per specificare la lunghezza dell’unità puoi scrivere direttamente l’1 sulla retta, fissando così la lunghezza rispetto allo 0.

Un altro modo è di disegnare un segmento a parte, lungo esattamente come l’unità desiderata, come nel disegno seguente.

Retta scalata con unita

Nota bene: negli ultimi due disegni le unità sono esattamente identiche, perché hanno la stessa lunghezza: cambia solo il modo di rappresentarle.

Fai estrema attenzione: una volta scelta la lunghezza dell’unità, ogni unità deve avere sempre quella lunghezza!

Per esempio, se hai deciso che sulla tua retta l’1 si trova dopo 3 quadretti dall’origine, allora il 2 si deve trovare esattamente 3 quadretti dopo l’1, perché l’unità che va da 0 ad 1 è un’unità tanto quanto quella che va da 1 a 2, cioè sono uguali e quindi devono anche essere disegnate uguali!

La retta dei numeri qui sopra è completamente sbagliata, perché le unità, che dovrebbero essere tutte lunghe allo stesso modo, sono invece rappresentate ognuna da un segmento diverso dall’altra!

Fai estrema attenzione: sembra banale dirlo, ma a volte qualcuno arriva a confondersi veramente tanto. I numeri devono essere scritti in ordine! Vuol dire che il 2 va dopo 1, il 3 dopo il 2, il 4 dopo il 3 e via dicendo.

La retta dei numeri qui sopra è completamente sbagliata, perché le unità, che dovrebbero essere scritte in ordine, sono invece rappresentate in modo disordinato! Se ci pensi, il verso della freccia indica che a destra del 2 due ci deve essere un numero più grande di 2, invece ci troviamo 1! La freccia indica anche che a sinistra di 1 devo trovare numeri più piccoli di 1, invece c’è il 2! Questo tipo di errore si può verificare quando si devono scrivere sulla retta dei valori che sono elencati in una tabella: qualcuno, invece di scrivere i numeri nell’ordine in cui si susseguono in realtà, li scrive nell’ordine con cui compaiono nella tabella. L’errore dipende dal fatto che in una tabella i numeri possono essere scritti in un ordine qualsiasi, perché non c’è nessun motivo per cui debbano essere scritti in modo ordinato: seguendo la tabella, le rette dei numeri vengono tutte sbagliate!

Posizionare una frazione su una retta data

Posizionare un numero intero su una retta data è molto semplice, perché i numeri interi sono già segnalati esplicitamente e quindi basta disegnare il punto in corrispondenza della tacca del valore richiesto. Per posizionare una frazione, invece, è tutta un’altra storia, perché le frazioni non sono già segnalate sulla retta: bisogna usare una procedura per determinare dove si trova esattamente.

Visto che devo trovare quanto è lungo il segmento di retta associato ad una frazione, questa procedura altro non è che la definizione stessa dell’operatore frazione: basta quindi che prendi il righello, misuri quanto è lungo l’intero, dividi quel valore in tante parti uguali quante ne dice il denominatore e poi ne prendi tante quante ne dice il numeratore!

Resta solo un punto: chi è l’intero? Per capirlo basta fare un esempio: dove posizioneresti la frazione 1/2? Siccome sai che 1/2 corrisponde a 0,5, metteresti quella frazione esattamente a metà fra 0 ed 1. Ma quello è proprio il punto dove arriveresti applicando la frazione 1/2 al segmento unità (che è quello che va da 0 ad 1)! Quindi ora abbiamo tutti gli elementi per completare il lavoro: l’intero è il segmento unità!

In pratica: per posizionare una frazione su una retta data (cioè già disegnata), individua fra quali numeri interi consecutivi si trova quella frazione, in modo da evitare gli errori più grossi. A questo punto applica la frazione al segmento unità (quello che va da 0 ad 1), cioè prendi il righello e dividi quel segmento in tante parti uguali quante ne dice il denominatore, poi ne prendi tante quante ne dice il numeratore. Se la frazione è impropria, sarà necessario suddividere nello stesso modo anche gli interi successivi, almeno fino all’intervallo in cui sai che dovrai mettere la frazione.

Esempio: trova la posizione del numero 2/3 sulla seguente retta dei numeri.

Per prima cosa determini che 2/3 si trova fra 0 ed 1 (non fra 2 e 3!), perché 2:3 fa 0 e un po’ (un altro modo di dirlo è perché 2/3 è una frazione propria).

2/3 si trova da qualche parte qui

A questo punto prendi il righello e dividi il segmento fra 0 ed 1 in 3 parti, poi ne prendi 2.

2/3 si trova esattamente qui

Esempio: trova la posizione del numero 10/3 sulla seguente retta dei numeri.

Per prima cosa vedi che 10/3 si trova fra 3 e 4 (non fra 10 e 3!), perché 10:3 fa 3 e un po’. Un altro modo di dirlo è che 10/3 corrisponde al numero misto 3 + 1/3.

	10/3 si trova da qualche parte qui

A questo punto prendi il righello e dividi il segmento fra 0 ed 1 in 3 parti. Dividi anche le unità successive, almeno fino al segmento fra il 3 e il 4. Adesso prendi 10 di queste parti.

	10/3 si trova esattamente qui

Per i più bravi: osservando che 10/3 è uguale a 3 + 1/3, si poteva partire direttamente sul segmento fra 3 e 4 ed applicargli la frazione 1/3. Osserva infatti che il tratto verde oltre il numero 3 è lungo proprio 1/3 del segmento fra 3 e 4.

Esempio: trova la posizione dei numeri 8/4 e 3/2 sulla seguente retta dei numeri.

Per prima cosa determini che 8/4 è esattamente 2, mentre 3/2 fa 1,5. Allora non serve farla lunga…

	8/4 si trova esattamente qui

3/2 si trova esattamente qui

In alcuni casi è necessario ordinare più di due frazioni ed anche posizionarle su una retta dei numeri data. Per prima cosa, conviene confrontare le frazioni tutte assieme, allo scopo di riordinarle (ad esempio in senso crescente). Per fare questo basta portare tutte le frazioni allo stesso denominatore (meglio che sia il m.c.m. dei denominatori di tutte le frazioni): ora le frazioni trasformate si ordinano dal numeratore più piccolo a quello più grande. Fatto questo si posiziona ogni frazione sulla retta dei numeri, usando il metodo visto precedentemente.

Posizionare una frazione su una retta non data

A volte la retta dei numeri su cui posizionare il gruppo di frazioni non è già disegnata, ma sta a te disegnarla. In questo caso puoi procedere in due modi:

Disegni una retta e metti l’unità a caso su di essa.

È il sistema più facile da capire, perché ti riconduci al caso della retta già disegnata che abbiamo visto sopra: a questo punto ti armi di righello e pazienza, procedendo come nel paragrafo precedente.

Costruisci la retta mettendo l’unità precisamente dopo tanti quadretti del quaderno quanto è il m.c.m. fra i denominatori di tutte le frazioni che devi posizionare.
In questo caso stai adattando la retta alle frazioni da metterci, invece di adattare le frazioni alla retta, come col metodo precedente! Siccome l’unità contiene un numero di quadretti multiplo di tutti i denominatori, quando applicherò la frazione al segmento unità otterrò per forza un numero intero di quadretti e quindi posizionare la frazione diventa molto semplice.

In pratica: si tratta di decidere dove vuoi mettere la difficoltà. Se usi il primo metodo il disegno della retta è semplice, ma posizionare le frazioni è complesso, perché devi fare divisioni col righello (in pratica, quello che vorremmo evitare). Se usi il secondo metodo, disegnare la retta è più complesso, ma posizionare le frazioni è una procedura sempre esatta che non richiede calcoli o righello.

Ad esempio, vogliamo posizionare su una retta dei numeri le frazioni 2/3, 5/6 e 5/4.

Caso 1: la retta su cui posizionarle è la seguente:

Allora procedo a determinare la posizione di 2/3 col righello (vedi esempio sopra).

Poi posiziono con lo stesso sistema anche 5/6.

Freccia2_c

Poi posiziono con lo stesso sistema anche 5/4.

Naturalmente tu puoi fare le tre operazioni sempre sulla stessa retta, io le ho separate solo per chiarezza. L’importante è ricordare che i disegni fatti per posizionare 2/3 vanno ignorati completamente nel posizionare 5/6 e 5/4. Ogni frazione si fa per conto proprio, come se le altre non esistessero.

Caso 2: la retta devi designartela tu:

m.c.m.(3;6;4) = 12

Allora disegno una retta dei numeri in cui l’unità sia dopo 12 quadretti dall’origine.

Ora 2/3 si trova esattamente sul quadretto 8, perché 2/3 di 12 quadretti fa 8 quadretti. 5/6 si trova esattamente sul quadretto 10, perché 5/6 di 12 quadretti fa 10 quadretti. Infine 5/4 si trova esattamente sul quadretto 15, perché 5/4 di 12 quadretti fa 15 quadretti.

Diagramma cartesiano

Definizione: un diagramma cartesiano è un insieme di rette dei numeri perpendicolari fra loro, aventi la stessa origine. Ognuna di queste rette dei numeri è chiamata “asse cartesiano”. In particolare, un “piano cartesiano” è un diagramma cartesiano formato da due assi.

Per costruzione, si deve per forza mettere l’origine comune nel punto di intersezione delle rette. Poiché gli assi sono rette dei numeri, devono essere disegnate come ogni altra retta dei numeri. Come al solito, quindi, ogni asse deve:

avere la freccia che indica il verso in cui crescono i numeri.
specificare l’unità di misura.

Inoltre, una ulteriore cosa necessaria sul diagramma cartesiano, è:

specificare quale grandezza (variabile) ogni asse rappresenta.

Se non lo si fa, il grafico potrebbe essere anche letto al contrario, scambiando di posto un asse con un altro e confondendo tutto. Su una singola retta dei numeri questo non è indispensabile per il semplice motivo che non è possibile fare confusione, perché è rappresentata un’unica grandezza. Nel seguente esempio si sono utilizzati i nomi x ed y per le grandezze rappresentate, secondo una usanza molto comune nello studio delle funzioni matematiche.

Poiché sono presenti più rette, è possibile che ognuna abbia la propria unità di misura, oppure che tutte abbiano la stessa unità di misura.

Definizione: un diagramma cartesiano si dice “isometrico” se tutti gli assi definiscono la stessa unità di misura. In caso contrario il diagramma è “anisometrico”, ma di solito si dice semplicemente che è “non isometrico”.

Di solito nella Scuola Media si utilizzano sempre assi isometrici per semplicità ed anche per evidenziare meglio alcune proprietà generali dei diagrammi cartesiani. Nelle scienze però, l’isometria degli assi cartesiani non ha nessun valore speciale: al contrario, di solito è una richiesta fastidiosa, perché rende più difficile utilizzare il diagramma quando i valori su assi diversi sono molto diversi fra loro.

Per esempio, immagina di dover rappresentare su un asse i valori 1 - 2 - 3, mentre su un altro i valori 1000 - 5000 - 15000. È chiaro che facendo un diagramma isometrico avrai problemi enormi, perché se fissi l’unità grande vedrai bene l’asse con 1 - 2 - 3, ma sull’altro non ci potranno assolutamente stare i numeri 1000 - 5000 e 15000 perché sarebbero a diversi metri dalla origine! Se al contrario fissi l’unità molto piccola in modo da farci stare bene 1000 - 5000 - 15000, sull’altro asse i numeri 1 - 2 - 3 sarebbero talmente appiccicati all’origine da non poterli distinguere in nessun modo!

Definizione: su un piano cartesiano, l’asse orizzontale è detto "asse delle ascisse", mentre quello verticale è detto "asse delle ordinate".

Su un piano cartesiano si rappresentano coppie di valori, uno che specifica l’ascissa (cioè il valore sull’asse x), l’altro che specifica l’ordinata (cioè il valore sull’asse y). Per convenzione il primo numero della coppia specifica SEMPRE l’ascissa, il secondo numero SEMPRE l’ordinata.

Definizione: la coppia di valori da posizionare sul piano cartesiano prende il nome di “coordinate cartesiane” del punto da disegnare. Le coordinate cartesiane sono simili a quelle geografiche e proprio come quelle identificano UN UNICO PUNTO, non due punti!

Rifletti: se le coordinate identificassero due punti non servirebbe a niente fare il diagramma, basterebbero due rette dei numeri separate!

In pratica: per disegnare il punto corrispondente ad una coppia di coordinate, puoi seguire questa procedura che trovi su tutti i libri:

Segna sull’asse delle ascisse (orizzontale) dove si trova la prima coordinata. ATTENZIONE: serve solo per il lavoro che segue, lì non c’è NESSUN punto!
Segna sull’asse delle ordinate (verticale) dove si trova la seconda coordinata. ATTENZIONE: serve solo per il lavoro che segue, lì non c’è NESSUN punto!
Dal segno sull’asse orizzontale manda un retta verticale, mentre dal segno sull’asse verticale manda una retta orizzontale: il punto in cui le due rette si incontrano è quello che devi disegnare.

oppure puoi usare quest’altra procedura, equivalente alla precedente, che per certi aspetti è più semplice, per altri è più complicata. Scegli tu quella con cui ti trovi meglio!

Posizionati sull’origine.
Spostati sull’asse delle ascisse di una quantità pari al valore della prima coordinata. Se questa è positiva, devi spostarti nel verso indicato dalla freccia dell’asse, se invece è negativa, devi spostarti nel verso opposto!
Da dove ti trovi, spostati verticalmente di una quantità pari al valore della seconda coordinata. Se questa è positiva, devi spostarti nel verso indicato dalla freccia dell’asse delle ordinate, se invece è negativa, devi spostarti nel verso opposto!
Disegna il punto dove ti trovi adesso.

Su tutti i libri si vedono le due rette usate per determinare dove si trova il punto finale nella prima procedura, tracciate nel bel mezzo al diagramma. Quei disegni servono solo a farti capire il meccanismo, tu non devi mai fare così, perché quando cominciano ad esserci molti punti sul diagramma, tutte quelle linee verticali ed orizzontali creano una grande confusione.

In pratica: disegna solo il punto finale, MAI le rette per determinarlo, altrimenti queste finiranno col confonderti e quando il lavoro diventerà complesso ti faranno sbagliare tutto!

Coordinate frazionarie

Come fare quando una o tutte e due le coordinate del punto da posizionare sono delle frazioni?

Non è richiesto un diagramma isometrico: basta che usi per ogni asse una qualunque delle due tecniche viste per posizionare una frazione sulla retta dei numeri.
È richiesto un diagramma isometrico: in questo caso o fissi la lunghezza dell’unità comune e poi usi la tecnica di applicare l’operatore frazione al segmento unità, oppure determini quale deve essere la lunghezza dell’unità comune facendo il m.c.m. di tutti i denominatori delle frazioni, indipendentemente dal fatto che siano coordinate di un asse o dell’altro. Essenzilmente, è lo stesso principio che useresti per posizionare le due frazioni sulla stessa retta dei numeri!

Come esempio, posizioniamo i seguenti punti (coppie di coordinate) su un piano cartesiano isometrico. A = (1/2 ; 2/3) B = (3/4 ; 1/6) C = (1/4 ; 5/12)

Siccome il m.c.m. di tutti i denominatori è 12, allora posiziona su entrambi gli assi l’unità dopo 12 quadretti. In questo modo i due assi avranno la stessa unità di misura e saranno quindi isometrici. Adesso, per posizionare il punto A, devi seguire la procedura indicata per una frazione sulla retta dei numeri. Si comincia considerando l’ascissa (x) del punto, che è 1/2. Applichi la frazione 1/2 all’unità dell’asse x: siccome l’unità l’hai costruita di 12 quadretti, la parte che ottieni è 6 quadretti (1/2 di 12 = 6). Poi consideri l’ordinata (y) del punto, che è 2/3. Applichi la frazione 2/3 sull’unità dell’asse y: siccome anche qui l’unità è di 12 quadretti, la parte che ottieni è 8 quadretti (2/3 di 12 = 8). A questo punto utilizzi la tua procedura preferita per posizionare il punto sul diagramma cartesiano. La stessa cosa si fa per gli altri punti, B e C, controllali per vedere se hai capito come si fa.