Le relazioni

Dal punto di vista matematico, una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due insiemi. Noi, però, non affronteremo mai gli aspetti insiemistici delle relazioni. Da un punto di vista molto più pratico, anche se meno preciso, diciamo invece che:

In pratica: esiste una relazione fra due quantità, quando quelle quantità non sono indipendenti l’una dall’altra, cioè se cambia il valore di una quantità, cambia anche il valore dell’altra.

Per esempio se dico che Marco ha il doppio delle figurine di Andrea, i due numeri di figurine sono quantità in relazione: infatti, se Andrea ne ha 10, Marco deve per forza averne 20 (il doppio di 10). Se invece Andrea ne ha 12, allora Marco deve per forza averne 24 e se Marco ne ha 8, allora Andrea deve per forza averne 4 (perché se Marco ne ha il doppio di Andrea, Andrea ne ha la metà di Marco), e così via. In questo esempio posso quindi dire che: n° di figurine di Marco = n° di figurine di Andrea · 2.

La relazione matematica fra due quantità coincide esattamente e completamente con la procedura da seguire per calcolare il valore di una delle due quantità, se conosciamo il valore dell’altra.

Perché le relazioni sono importanti? Perché in tutti i problemi che dovrai affrontare a scuola (e anche in molti di quelli che affronterai nella vita), di molte quantità non si conosce direttamente il valore, ma solo che relazione hanno con altre quantità.

Il modo migliore, più ordinato, efficace e preciso di esprimere una relazione matematica, per poterci poi lavorare, non è il linguaggio naturale (cioè, nel tuo caso, l’italiano), ma un linguaggio simbolico (ebbene sì, hai capito bene, non il linguaggio simbolico, perché ne esiste più di uno!). È allora importantissimo capire bene cosa sono le quantità ed imparare a tradurre una relazione dal linguaggio naturale a quelli simbolici.

In pratica: nessuna relazione matematica si scrive in italiano; invece, tutte si esprimono usando un linguaggio simbolico, tipico della matematica.

Le quantità

Abbiamo detto che tutte le relazioni sono legami fra due quantità, anzi, spesso anche fra più di due. È meglio chiarire molto bene che cosa sono queste quantità, quali entrano nei problemi matematici e quali, invece, non possono mai essere descritte matematicamente.

Definizione: una quantità in matematica è sempre e soltanto qualcosa che si può misurare.

In effetti, il nome stesso di “quantità”, significa che parliamo di una cosa di cui si può dire “quanto” vale, cioè misurarla! La matematica, infatti, usa termini come “uguale”, “maggiore di”, oppure “somma”. Solo delle quantità che possono essere misurate ha senso dire che sono uguali fra loro, oppure che una è più grande di un’altra. Se ci pensi bene, conosci già problemi matematici che chiedono di trovare capacità (di vasche, bottiglie, ecc), pesi (tara, lordo, netto), quantità di denaro (spesa, guadagno, ricavo), ma non hai mai incontrato, ne mai incontrerai, un problema matematico che ti chieda di determinare la bellezza di un colore, perché non è una quantità misurabile. Non ha senso dire che la bellezza di un colore è uguale a quella di un altro, o chiedersi quanto fa la somma della bellezza di due colori.

Rifletti bene su questo: ha senso dire che Marco è uguale ad Antonio? Vorrebbe forse dire che Marco è identico, da ogni punto di vista immaginabile, ad Antonio? È una affermazione molto, molto, molto difficile da sostenere! Ha invece senso dire che Marco pesa come Antonio (che è un modo di dire abbreviato per indicare che il peso di Marco è uguale al peso di Antonio), oppure che Marco è alto come Antonio (che è un modo di dire abbreviato per indicare che l’altezza di Marco è uguale all’altezza di Antonio). Questo perché il peso è una quantità misurabile (si misura con la bilancia ed il valore ottenuto si indica, per esempio, in kg) e lo è anche l’altezza (si misura con il metro ed il valore ottenuto si indica, per esempio, in cm). Dire che Marco pesa come Antonio significa precisamente che se li metto sulla bilancia ottengo lo stesso valore numerico in kg. Dire che Marco è alto come Antonio significa precisamente che se li misuro col metro ottengo lo stesso valore numerico in cm.

Assegnazione dei nomi

La prima cosa da fare per scrivere in linguaggio simbolico una relazione matematica è di assegnare un nome diverso ad ognuna delle quantità che sono in relazione fra loro.

Se non dai un nome alle cose, è difficile (per non dire che è impossibile), fare dei discorsi sensati su quelle cose. Questo non vale solo in matematica, ma anche in italiano ed in tutte le altre lingue. Quando parli con i tuoi amici, tutti i giorni usi dei nomi per indicare le persone e le cose… va bene, in effetti qualcuno utilizza anche oh, uh, te, là, nonché una nutrita scuderia di versi, grugniti, fischi ed altri suoni onomatopeitici, ma di solito per comunicare cose importanti, anche costoro utilizzano parole di senso compiuto (o, per lo meno, lo sono nella maggior parte dei casi). Immagina di voler parlare ad un tuo amico del tuo animale preferito. Se il tuo amico non conosce il tuo animale, dovrai prima descriverglielo, ma una volta che lo hai fatto, ti riferirai al tuo animale chiamandolo per nome. Perché? Perché altrimenti, per fargli capire che parli di lui, dovresti descriverglielo di nuovo tutte le volte che ne parli, o comunque dovresti utilizzare un modo di parlare contorto e poco chiaro (per esempio dovresti dire: il mio animale, lui, quello di cui parlavamo, o altre cose del genere). Dopo un po’ diventerebbe noioso, dimenticheresti qualche particolare, oppure ne aggiungeresti altri ed il tuo amico farebbe confusione su com’è fatto il tuo animale preferito.

Una cosa che è importante capire è che il nome che assegni alle quantità è una pura questione di sintassi. Non ti spaventare per questo nome difficile da grammatica italiana, vuol dire semplicemente che il nome che dai ad una quantità non ha nessun significato matematico, serve solo a te per poter parlare di una particolare quantità senza confonderla con le altre.

Quindi non c’è nessuna necessità che il nome descriva con lunghi discorsi quella quantità, anzi, esattamente come nel caso del tuo animale, questo crea solo confusione (vedrai nel prossimo capitolo com’è complicato descrivere a parole le proprietà delle operazioni!). Visto che puoi usare qualsiasi segno come nome di una quantità, la cosa migliore da fare è evitare di usare tante parole, anzi: meglio non usarne per niente e scrivere come nome semplicemente una singola lettera, o comunque usare nomi molto brevi.

Traduzione

Una volta assegnati i nomi alle quantità, si deve tradurre in simboli matematici la relazione specificata nel testo.

È inutile negarlo, questa è una cosa un po’ difficile e ci può volere del tempo per capirla, ma ne vale la pena. Non avere fretta e non rinunciare subito: se ci lavori un po’, vedrai che ce la fai! Ma perché è così difficile? Perché nel linguaggio naturale, nel nostro caso l’italiano, per dire una cosa precisa, di solito non c’è un solo modo preciso, ma tantissimi modi diversi! Quindi, anche se ti può sembrare strano, molto spesso avrai difficoltà non perché non hai la padronanza della matematica, ma perché non hai la padronanza dell’italiano! Ti faccio subito un esempio: traduco in italiano la relazione qui sotto, scritta in matematichese (di solito si fa il contrario, ma è un buon esercizio):

A + B = 5

Se immaginiamo che A e B siano nomi di segmenti, questa relazione, in italiano, si può scrivere almeno in sei modi diversi, e probabilmente anche in tanti altri modi che ora non mi vengono in mente:

Come vedi, la prima frase è molto facile da capire, solo che praticamente nessuno parla così in italiano, perché è un modo di parlare robotico e telegrafico, sembra di essere in uno di quei film western di serie B: “io capo indiano Toro Seduto, tu uomo bianco Generale Custer augh”. Chi parla mai così? Passando per frasi sempre più intricate, si arriva all’ultima che ho scritto, dove vedi che la relazione non corrisponde nemmeno più ad una sola frase, ma ad un singolo pezzettino di un’altra frase più grande! Sfortunatamente, questo è il modo normale in cui ci si esprime nelle lingue naturali ed è il motivo per cui i traduttori sono così ricercati e ben pagati! Si tratta di un lavoraccio difficile. Basta che rileggi questo paragrafo per vedere che la maggior parte delle frasi che ho scritto sono composte di tanti verbi, separate da virgole, due punti, oppure disgiunzioni (o, oppure) o congiunzioni (e): sono rarissime le frasi brevi e separate dalle altre.

Allora, come si affronta il lavoraccio? Per eseguire una traduzione italiano \ matematichese bisogna considerare il testo da tradurre frase per frase (cioè da un punto al successivo). Di solito, per metterti al riparo dall’eccessiva complessità della lingua italiana e non distrarti dal tuo obiettivo, i testi che trovi sul libro sono stati già abbastanza schematizzati; normalmente, quindi, vedrai che ogni frase contiene una sola relazione, o al massimo due. Si tratta di eseguire un’analisi logica della struttura della frase. La Logica è una delle parti principali della matematica e delle scienze, ma forse pensi che una cosa del genere si dovrebbe fare in Lettere, visto che riguarda l’italiano. Non dico che sbagli, anzi… ti dico proprio che effettivamente, più avanti, la farai molto bene in Lettere. Per ora diamo un’infarinatura superficiale e speriamo che basti per il nostro scopo. Allora, in ogni frase devi capire:

  1. Di chi stiamo parlando, cioè chi possiede la caratteristica detta, cioè chi fa qualcosa (soggetto della frase)
  2. Che caratteristica ha la cosa di cui stiamo parlando (verbo della frase, spessissimo è il verbo essere, cioè si dice quella cosa è così, quest’altra cosa è cosà, eccetera…). Questa parte si traduce praticamente sempre con il segno di =. Ricorda che il segno = deve esserci sempre nella traduzione di qualsiasi relazione.
  3. Rispetto a che cosa il soggetto ha questa caratteristica (complementi vari)

Facciamo un esempio. Vogliamo scrivere simbolicamente questa relazione: “il peso del pane è la somma del peso dell’acqua e di quello della farina usata per produrlo”. Una volta capito che ci sono delle quantità in relazione, che sono il peso del pane, il peso della farina ed il peso dell’acqua, gli assegniamo un nome. Questi nomi potrebbero essere Pp , Pf e Pa (oppure P, F e A, oppure anche X, Y, Z, che però non ricordano molto a quali quantità si riferiscono, oppure, per i più temerari, Superman, Batman e Spiderman). A questo punto, traduciamo:

il peso del pane è la somma del peso dell’acqua del peso della farina
(soggetto) (verbo) (complemento) (complemento) (complemento)
Pp = + Pa Pf
Però in matematica l’operatore + richiede che gli operandi siano uno alla sua sinistra ed uno alla sua destra. Perciò in realtà dovremo scrivere:
Pp = Pa + Pf

Molto probabilmente, questa qui sopra non è la forma che ti era venuta in mente. È più facile che tu abbia pensato di usare nomi come “peso del pane” , “peso della farina” e “peso dell’acqua” e scrivere la relazione più o meno così:

peso del pane è peso della farina e peso dell’acqua oppure

peso del pane = somma di peso della farina e peso dell’acqua

Queste forme non sono altro, in pratica, che il riassunto del testo del problema, scritto un po’ in italiano e un po’ con simboli matematici. È il modo più comune con cui gli studenti tendono a scrivere i dati, specie all’inizio, perché pensano che scrivere molto sia meglio (come nei temi) e dia più informazioni: allora utilizzano il testo così com’è. Naturalmente, essendo il modo più ovvio di lavorare, è anche il più sbagliato! Infatti, non si tratta di riassumere, ma di tradurre da un linguaggio (italiano) ad un’altro (linguaggio simbolico). Naturalmente, per poter tradurre dall’italiano al linguaggio simbolico, è necessario conoscere il vocabolario sia dell’italiano, sia del linguaggio simbolico. Per questo motivo insisto sempre sulla assoluta importanza di conoscere le parole, i nomi che indicano le cose.

Rifletti bene: quando scrivi “peso della farina e peso dell’acqua”, cosa stai dicendo in linguaggio simbolico? Niente, perché “e” non è un operatore, “+” è un operatore! Se scrivi una relazione in linguaggio simbolico come quella dell’esempio, è come se tu scrivessi in italiano la frase “il cat è nero”, per tradurre dall’inglese “the cat is black”. Cosa vuol dire? Vuol dire che non conosci il significato della parola “cat”. Però osserva cosa hai combinato: la tua traduzione non significa niente, né in italiano, né in inglese! Questa traduzione mi fa pensare (dopo anni ed anni di comprovata esperienza) che chi l’ha fatta non ricorda cos’è la somma, altrimenti gli sarebbe dovuto saltare in testa di scrivere (almeno) una cosa del genere:

peso del pane = peso della farina + peso dell’acqua

Questa scrittura è migliore della precedente, perché traduce il vocabolo italiano “somma”, nel vocabolo matematico corretto ‘+’, ma non traduce il vocabolo italiano “e”, perché non ha alcuna corrispondenza. Infatti, la “somma” di due quantità è il risultato della loro addizione “e”… basta!!. Questa traduzione mi dice che il traduttore:

Il passo successivo è di eliminare quei nomi inutilmente lunghi e sostituirli con nomi più brevi. Si arriva proprio ad una forma simile a quella spiegata all’inizio, come P=F+A.

Fai attenzione: alcuni verbi in italiano si traducono con più di un simbolo in linguaggio simbolico.

Per esempio, traduciamo la frase “un segmento supera un altro di 10 cm”. Come si traduce il verbo supera? Basta che osservi questa cosa: dire che un numero supera un altro numero di una certa quantità, è lo stesso che dire che è uguale all’altro numero, più quella quantità! Per esempio dire che tu superi in altezza un tuo amico di 10 cm, vuol dire che sei alto come il tuo amico (=), più altri 10 cm (+). Allora la relazione si traduce con A=B+10. Nella tabella qui sotto ci sono alcuni esempi di frasi con verbi che compaiono spesso nei problemi e la loro traduzione.

Frase Traduzione del verbo Relazione
la base è il doppio dell’altezza = seguito da ·2 b = 2·h
la base supera l’altezza di 5 cm = seguito da + b = h + 5
la base differisce di 5 cm dall’altezza = preceduto da – b – 5 = h
Il rapporto di base ed altezza è 13 cm = preceduto da : b : h = 13
la base è la terza parte dell’altezza = seguito da :3 o ∙1/3 b = 1/3∙h o b = h:3

Relazioni dirette ed inverse

Definizione: una relazione fra due quantità (chiamiamole ancora A e B) si dice in forma utile per determinare A, oppure, in forma esplicita rispetto ad A, se A compare isolata (senza altri numeri od operatori) da una delle due parti dell’uguale (di solito la si scrive a sinistra dell’uguale), mentre la quantità B si trova dall’altra parte dell’uguale (di solito la si scrive a destra dell’uguale), assieme ad altri numeri ed operatori che compaiono nella relazione. Naturalmente, la relazione è in forma utile o esplicita rispetto a B, se è B che si trova da sola da una parte dell’uguale e tutto il resto si trova dall’altra parte.

In pratica: le due relazioni, quella in forma utile per trovare A e quella in forma utile per trovare B, si dicono una l’inversa dell’altra. Questo modo di chiamarle dipende dal fatto che se una contiene un operatore (ad esempio il +), l’altra contiene il suo operatore inverso (cioè contiene il –).

Una qualunque delle due relazioni può essere considerata “diretta” e l’altra “inversa”; di solito si sceglie come “diretta” la forma che più direttamente traduce in forma simbolica il testo del problema, ma non è obbligatorio. Per esempio, se il testo del problema dice: “due segmenti sono uno il doppio dell’altro…”, di solito si prende come relazione diretta la forma A=2·B , mentre la forma B=A:2 (che dice che B, ovviamente, è la metà di A) è considerata la forma inversa, ma puoi benissimo fare il contrario, se ti piace di più.

Vediamo alcuni esempi, di relazioni qualsiasi fra due quantità:

Relazione a parole Diretta Inversa
Un segmento supera un altro di 6 cm A = B + 6 B = A – 6
La capacità di una lattina è il triplo di quella di un’altra. A = 3·B B = A : 3
Una torta pesa i 3/4 di un’altra. A=3/4 di B B = 4/3 di A
Un numero è la differenza fra il triplo di un altro e 5. A = 3·B – 5 B = (A+5):3

Procedura di inversione

La procedura di inversione di una relazione è una delle cose più difficili che si possono fare alle medie. Per poterla eseguire bene bisogna:

Per poter raggiungere questi tre obiettivi, ci vuole tempo, studio ed esercizio, tanto che a volte si riesce a capire a fondo questa procedura solo verso la fine della terza media (alcuni ci riescono solo alle superiori). Chiarisco subito che qui sotto parlerò di alcune quantità chiamandole A, B , C eccetera. Vediamo adesso i vari casi che si possono presentare.

Assegnazione del valore

Cominciamo con la relazione più facile di tutte, quella che dice semplicemente quanto vale una quantità. In effetti, questa non è propriamente una relazione, visto che compare una sola quantità: ecco perché è la più facile di tutte. Ad esempio, se dico che un segmento è lungo 12 cm, assegno il valore 12 alla lunghezza del segmento. Se alla lunghezza del segmento ho assegnato il nome b, allora scrivo semplicemente:

b = 12 cm (che traduce la frase “la lunghezza del segmento è 12 cm”)

Se dico che un angolo è di 90°, assegno il valore all’angolo. Se l’ampiezza dell’angolo l’ho chiamata α, scriverò allora:

α = 90° (che traduce la frase “l’ampiezza dell’angolo è 90°”)

Osserva la corrispondenza delle varie parti della frase con i nomi, i simboli ed i numeri, che è evidenziata dai diversi colori. Nota che il verbo “ è ” corrisponde ad =. Questo perché dire che un segmento è di 12 cm, o che è lungo 12 cm, è lo stesso che dire che è uguale a 12 cm. Lo stesso discorso vale per l’ampiezza dell’angolo.

Invertire questo genere di relazioni, consisterebbe semplicemente nello scrivere il termine noto a sinistra dell’uguale ed il nome della quantità a destra, così:

12 cm = b oppure 90° = α

È facile capire che questa cosa rende solo meno leggibile la frase tradotta. Infatti, in italiano chiunque direbbe “l’angolo è di 90°”, ma nessuno, anche se è possibile farlo, direbbe “di 90° è l’angolo”. Questo perché, normalmente, quando si parla si dice che qualcosa ha una caratteristica, non si dice che una caratteristica è di qualcosa! Facci caso e vedrai che è così.

In pratica: per questo tipo di relazione, è meglio utilizzare sempre la forma con il nome della quantità a sinistra dell’uguale ed il suo valore a destra, non il contrario.

Uguaglianza

Questa relazione è più interessante della precedente. Si tratta di una relazione propria, fra due quantità, ma per fortuna resta ancora molto facile: dice semplicemente che una cosa è uguale ad un’altra. In simboli si scriverà:

A = B

Questa forma è utile per trovare A. Ma, se osservi bene, è anche utile per trovare B; infatti, anche B è da sola da una parte dell’uguale! Quindi, in questo caso, la relazione inversa coincide con quella diretta. Se ci pensi bene, è logico: se A è uguale a B, anche B sarà uguale ad A! Volendo proprio spaccare il capello, puoi scrivere la relazione inversa in un modo più leggibile, così:

B = A

Osserva che hai solo scambiato i posti di A e B.

Fai molta attenzione: è sempre possibile riscrivere una relazione scambiando di posto tutte le cose che sono a sinistra dell’uguale con tutte quelle che sono a destra dell’uguale. Infatti se una cosa è uguale ad una seconda, anche la seconda è uguale alla prima! Questa azione si chiama “permutare i termini della relazione”.

Per esempio, le relazioni che vedi scritte qui sotto, sono esattamente la stessa cosa, la stessa identica frittata rigirata:

A + 3 – B = C + 2 : D

C + 2 : D = A + 3 – B

Relazioni con un solo operatore

Consideriamo adesso relazioni che coinvolgono, oltre alle quantità, un solo operatore aritmetico e una terza quantità, oppure un numero (che chiamerò termine noto, perché è un operando di valore noto, al contrario delle quantità, che si indicano per nome). Prendiamo per esempio una relazione che dice che una quantità è il triplo di un’altra. Questo significa che la quantità più grande si ottiene moltiplicando per tre la più piccola. La relazione si scriverà allora:

A = 3 · B

Questa forma è utile per trovare A. Come facciamo a scrivere la sua inversa? Basta pensare che se A è uguale a B per tre, allora, per la definizione delle operazioni inverse che hai visto alle elementari, B sarà uguale ad A diviso tre! Infatti la divisione è l’operatore inverso della moltiplicazione. Allora, la relazione inversa, cioè quella in forma utile per trovare B, sarà:

B = A : 3

Prendiamo per esempio una relazione che dice che una quantità supera di 12 un’altra. Questo significa che la quantità più grande si ottiene sommando 12 alla più piccola. La relazione si scriverà allora:

A = B + 12

Questa forma è utile per trovare A. Come facciamo a scrivere la sua inversa? Basta pensare che se A è uguale a B più dodici, allora, per la definizione delle operazioni inverse che hai visto alle elementari, B sarà uguale ad A meno dodici! Infatti la sottrazione è l’operatore inverso dell’addizione. Allora, la relazione inversa, cioè quella in forma utile per trovare B, sarà:

B = A – 12

Dovrebbe essere ormai chiaro che, se la relazione diretta contiene l’operatore – , la sua inversa conterrà l’operatore +, mentre se la diretta contiene l’operatore :, la sua inversa conterrà l’operatore ·. Vediamo.

Prendiamo per esempio una relazione che dice che una quantità differisce da un’altra di dodici. Questo significa che la quantità più grande meno la più piccola fa dodici. La relazione si scriverà allora:

A – B = 12

Questa forma non è utile né per trovare A, né per trovare B! Ma noi abbiamo paura di così poco? Certo che sì… ma vediamo subito come farla passare. Si ragiona esattamente come sopra, non c’è nessuna differenza. Infatti, se A meno B fa 12, allora, per la definizione delle operazioni inverse che hai visto alle elementari, 15 più B fa A! Questa relazione si scrive semplicemente così:

12 + B = A che, siccome l’addizione è commutativa, è lo stesso che

B + 12 = A che, siccome posso sempre permutare i termini, è lo stesso che

A = B + 12

In questo modo hai ottenuto la relazione in forma utile per trovare A. E quella in forma utile per trovare B? Se guardi bene, adesso è proprio uguale al secondo esempio! Quindi si ragiona come prima e si arriva a scrivere:

B = A – 12

Prendiamo per esempio di relazione a tre quantità, una relazione che dice che una quantità è la somma di altre due. Un esempio di questa relazione è quello del pane, acqua e farina che hai già visto sopra. Si scrive così:

C = A + B

Questa forma è utile per trovare C. Come faccio se C ce l’ho e ho bisogno di trovare B? Semplice: nello stesso identico modo che hai visto qui sopra. Infatti, se A più B fa C, allora, per la definizione delle operazioni inverse che hai visto alle elementari, C meno A fa B! Questa relazione si scrive semplicemente così:

B = C – A

È ovvio anche che C meno B fa A, cioè:

A = C – B

Una cosa MOLTO importante: siccome in questi ragionamenti non abbiamo mai usato il valore numerico di A, B e C, le relazioni inverse sono vere solo per via delle proprietà delle operazioni, non dipendono dal valore numerico delle grandezze. In altre parole non importa assolutamente quanto valgono A, B e C, perché le relazioni inverse saranno comunque le stesse.

Pensaci bene: se il peso del pane si ottiene sommando quello dell’acqua a quello della farina, il peso della farina si otterrà sempre togliendo il peso dell’acqua dal peso del pane, indipendentemente dal fatto che stiamo considerando 1 kg, 2 kg, o 100 kg di pane!

Prendiamo un altro esempio di relazione a tre quantità, una relazione che dice che una quantità è il prodotto di altre due. Un esempio di questa relazione è una formula di geometria, che serve per trovare l’area di un rettangolo, e dice che l’area è il prodotto di base ed altezza. Si scrive così:

A = b·h

Questa forma è utile per trovare l’area. Come faccio se l’area e la base le ho e ho bisogno di trovare l’altezza, invece? Semplice: nello stesso identico modo che hai visto qui sopra. Infatti, se la base per l’altezza fa l’area, allora, per la definizione delle operazioni inverse che hai visto alle elementari, l’area diviso la base fa l’altezza! Questa relazione si scrive semplicemente così:

h = A : b

È ovvio anche che l’area diviso l’altezza fa la base.

b = A : h

Il capitolo in pillole