Operatori, operandi, operazioni

Definizione: un operatore è una relazione matematica che collega uno o più elementi di un insieme ad un altro elemento dello stesso insieme.

In pratica: gli elementi dell’insieme su cui l’operatore agisce si chiamano operandi. L’operatore assieme ai suoi operandi forma una operazione. L’elemento dell’insieme che l’operatore collega agli operandi si chiama risultato della operazione.

7 + 5 = 12
operando (sinistro) operatore operando (destro) risultato

Gli operatori che vedremo alle medie sono gli operatori aritmetici ed un operatore derivato da questi e un po’ speciale (l’operatore frazione).

FAI ESTREMA ATTENZIONE: il risultato di ogni operazione ha un nome preciso. È molto, molto importante ricordare sia il nome che ha il risultato partendo dal nome dell’operatore, sia ricordare di quale operatore si parla, partendo dal nome del risultato. Questo perché quando si parla in linguaggio matematico, specialmente nei problemi, quei nomi compaiono spesso e se non li ricorderai bene, sbaglierai il tipo di operazione da fare!

Per molti scopi pratici, per esempio nel risolvere le espressioni, gli operatori si raggruppano a livelli. In ogni livello se ne trovano due, uno l’inverso dell’altro. Nella seguente tabella trovi un elenco di tutti gli operatori che vedremo: per ognuno è specificato il nome degli operandi e del risultato ed, inoltre, a quale livello appartiene:

Operatore Livello Operando sinistro Operando destro Risultato
+ 1° Addendo Addendo Somma
− 1° Minuendo Sottraendo Differenza
· 2° Fattore Fattore Prodotto
: 2° Dividendo Divisore Quoziente Rapporto
Frazione 2° - Intero Parte
Potenza 3° Base Esponente Potenza
Radice 3° Radicando Indice Radice

PS: per essere sicuro che li hai studiati e che non te li dimentichi, ogni tanto ti chiederò questi nomi, mettendoti un + se li ricorderai bene. Altrimenti …

Proprietà degli operatori

Tutti gli operatori possono avere una o più proprietà, cioè particolari modi di comportarsi rispetto ai loro operandi, o rispetto ad altri operatori. Vediamo quali sono le possibili proprietà degli operatori aritmetici (alcune di queste proprietà le hanno anche altri tipi di operatori, come quelli insiemistici, che abbiamo visto nel capitolo degli insiemi. Ti accorgerai che le descrizioni a parole che trovi qui sotto sono estremamente complicate: confrontale con quelle simboliche per vedere quanto in realtà sia più difficile capire le cose in italiano, che in linguaggio matematico. Più sotto ancora, troverai le stesse proprietà spiegate per ogni operatore, in modo da rendere più semplice capirle. Alla fine sono quelle da sapere!

  1. Definizione a parole: un operatore op è commutativo quando il risultato di una sua operazione non cambia se si scambia l’ordine degli operandi.
  2. Definizione simbolica: ∀a,b a op b = b op a.
  1. Definizione a parole: un operatore op è associativo quando, in un’operazione con almeno due operatori op, non cambia il risultato complessivo se, al posto di una delle operazioni, si sostituisce il suo risultato.
  2. Definizione simbolica: ∀a,b,c a op b op c = a op (b op c) = (a op b) op c

    3. Le parentesi significano che si deve fare per prima l’operazione che racchiudono e poi l’altra. Ad esempio:

    3 + 4 + 5 = 3 + (4 + 5) = 3 + 9 oppure anche

    3 + 4 + 5 = (3 + 4) + 5 = 7 + 5

    Applicare questa proprietà rende più semplice un’espressione scritta, ma di regola le operazioni associative si svolgono tutte assieme e, quindi, di solito non la si usa per iscritto. Invece, può rendere molto più facile un calcolo mentale.

  1. Definizione a parole: un operatore op è dissociativo quando il risultato di una sua operazione non cambia se ad uno degli operandi si sostituisce un’operazione di op il cui risultato sia l’operando di partenza.
  2. Definizione simbolica: ∀a,b con b | b = c op d si ha a op b = a op c op d
  1. Definizione a parole: un operatore op è invariantivo quando il risultato di una sua operazione non cambia se ognuno degli operandi è sostituito con un altro, che sia il risultato di un’operazione dell’operatore op, o dello operatore dello stesso livello di op, che abbia per operandi l’operando iniziale ed un numero qualunque.
  2. Definizione simbolica: ∀a,b,c a op b = (a op2 c) op (b op2 c) dove op2 può essere op o l’altro operatore dello stesso livello di op.

    3. Ad esempio:

    10 – 4 = 8 – 2 (8=10–2 e 2=4–2) oppure 10 – 4 = 12 – 6 (12=10+2 e 6=4+2).

    30 : 6 = 10 : 2 (10=30:3 e 2=6:3) oppure 30 : 6 = 60 : 12 (60=30·2 e 12=6·2)

    Applicare questa proprietà può semplificare sensibilmente un’espressione scritta e quindi spesso la si usa per iscritto. Quest’anno la applicheremo molto nel calcolo con le frazioni. Inoltre, può anche rendere molto più facile un calcolo mentale.

  1. Definizioni a parole: un operatore op è distributivo a destra rispetto ad un altro operatore op2 quando il risultato dell’operazione di op che ha per operando sinistro l’operazione dell’operatore op2, è lo stesso del risultato della operazione dell’operatore op2 che ha per operandi i risultati delle operazioni dell’operatore op che hanno per operandi i precedenti operandi dell’operatore op2 e quello dell’operatore op. Ti risparmio la definizione a parole della distributività a sinistra.
  2. Definizioni simboliche: un operatore op è distributivo a destra rispetto all’operatore op2 (op è scritto a destra di op2) se ∀a,b,c si ha (a op2 b) op c = (a op c) op2 (b op c)

    3. Un operatore op è distributivo a sinistra rispetto all’operatore op2 (op è scritto a sinistra di op2) ∀se a,b,c si ha a op (b op2 c) = (a op b) op2 (a op c).

  3. Definzione: un operatore op è distributivo rispetto all’operatore op2 se è distributivo sia a destra che a sinistra.

Attenzione, osserva bene, è molto importante: avrai notato come può essere molto difficile descrivere a parole le proprietà delle operazioni. La definizione della proprietà commutativa è facile, quelle delle proprietà associativa e dissociativa abbastanza facili, quella della proprietà invariantiva è molto difficile e quella della proprietà distributiva è praticamente impossibile da capire e persino io ho avuto delle difficoltà nello scriverla e l’ho lasciata in una forma imprecisa.

Invece, le definizioni simboliche sono molto più corte e facili da capire, perché rappresentano in modo più diretto la forma e le regole delle operazioni, senza aggiungere la complicazione della forma e delle regole dell’italiano, che, tra l’altro, col problema non c’entrano niente! Ricordati sempre che scrivere in italiano, al contrario di quello che sembra, non aggiunge nessuna informazione, invece aggiunge molta confusione! Ecco perché, centinaia di anni fa, quando la matematica è diventata più complicata, le persone hanno cominciato ad esprimerla con simboli, anziché con i discorsi lunghi e contorti che utilizzavano i filosofi precedenti, come ad esempio Aristotele (e che ho usato anche io in queste definizioni). È molto importante che anche tu impari ad utilizzare i simboli: quando dovrai scrivere i dati di un problema, o rappresentare qualcosa, o immaginare un modello scientifico di un fenomeno, dovrai essere in grado di rappresentare queste cose simbolicamente; in caso contrario, la confusione che ora hai visto scritta qui sul foglio ce l’avrai in testa e non riuscirai a sbrogliare la matassa dei tuoi problemi.

Fai attenzione: non confondere le proprietà degli operatori con le proprietà degli insiemi su cui operano. Per esempio, la sottrazione ha la proprietà invariantiva, anche se non sempre è possibile applicarla in N. Infatti 7 – 4 = (7 – 5) – (4 – 5), ma 4 – 5 non si può fare in N. Il problema, però, dipende da come è fatto N, non dall’operatore di sottrazione. Infatti, applicare la proprietà invariantiva della sottrazione è sempre possibile in Z, cioè usando anche i numeri interi negativi, che vedremo in terza.

PS: nel caso te lo stessi ancora chiedendo: no, non ti interrogherò mai sulle definizioni a parole delle proprietà degli operatori!

Ora vediamo quali proprietà hanno gli operatori aritmetici: queste le devi sapere bene:

Per i più bravi: gli operandi degli operatori commutativi (+ e ·) hanno lo stesso nome, mentre quelli degli operatori non commutativi (−, :, potenza e radice) hanno nomi diversi. Questo perché per gli operatori commutativi gli operandi hanno lo stesso ruolo (possono infatti essere scambiati senza alcun effetto), mentre per quelli non commutativi hanno ruoli diversi e, quindi, un nome diverso a seconda del ruolo assegnato ad ogni singolo operando.

Elementi speciali

Alcuni numeri possono avere particolari proprietà quando diventano operandi di certi operatori. In particolare, ci interessano questi casi:

PS: queste due definizioni generali sono un po’ difficili. Se sei bravo, forse le hai capite e me le potrai dire quando ti farò le domande. Se non sei sicuro e ci tieni a capirle, chiedimelo quando mi vedi a lezione! Se però sono troppo astratte per te, ricordati solo gli esempi concreti per il + ed il · che ci sono qui sotto (questi li dovete sapere tutti!).

In pratica: vedremo che gli operatori commutativi hanno tutti un elemento neutro e/o assorbente, ma gli operatori non commutativi non hanno nessun tipo di elemento speciale.

Lo zero (0) è un elemento neutro per l’addizione, perché in un’operazione di addizione che abbia per operando lo zero, il risultato sarà in tutti i casi uguale all’altro operando. Per esempio:

3 + 0 = 3 oppure 1042 + 0 = 1042 oppure 0 + 225 = 225

Potresti pensare che lo zero sia un elemento neutro anche per la sottrazione, perché, ad esempio:

3 − 0 = 3 oppure 1042 − 0 = 1042

Però la sottrazione non è un operatore commutativo, e quindi succede che:

0 − 225 ≠ 225

Questo significa che non in tutti i casi in cui zero è un operando della sottrazione, il risultato è l’altro operando. Perciò zero non è un elemento neutro per la sottrazione.

L’uno (1) è un elemento neutro per la moltiplicazione, perché in un’operazione di moltiplicazione che abbia per operando l’uno, il risultato sarà in tutti i casi uguale all’altro operando. Per esempio:

3 · 1 = 3 oppure 1042 · 1 = 1042 oppure 1 · 225 = 225

Potresti pensare che l’uno sia un elemento neutro anche per la divisione, perché, ad esempio:

3 : 1 = 3 oppure 1042 : 1 = 1042

Però la divisione non è un operatore commutativo, e quindi succede che:

1 : 225 ≠ 225

Questo significa che non in tutti i casi in cui 1 è un operando della divisione, il risultato è l’altro operando. Perciò l’uno non è un elemento neutro per la divisione.

Lo zero (0) è un elemento assorbente per la moltiplicazione, perché in una operazione di moltiplicazione che abbia per operando lo zero, il risultato sarà in tutti i casi uguale a zero, indipendentemente dall’altro operando. Per esempio:

3 · 0 = 0 oppure 1042 · 0 = 0 oppure 0 · 225 = 0

Potresti pensare che lo zero sia un elemento assorbente anche per la divisione, perché, ad esempio:

0 : 3 = 0 oppure 0 : 1042 = 0

Però la divisione non è un operatore commutativo, e quindi succede che:

225 : 0 ≠ 0 anzi vedremo fra poco che 225 : 0 non è nemmeno un numero!

Questo significa che non in tutti i casi in cui zero è un operando della divisione, il risultato è zero. Perciò zero non è un elemento assorbente per la sottrazione.

Generalizzando la proprietà di assorbimento dello zero nella moltiplicazione, si arriva alla la regola dell’annullamento del prodotto, che afferma:

In pratica: quando in un prodotto, con un numero qualsiasi di fattori, compare un fattore zero, l’intero prodotto si annulla.

In altre parole, in una serie di moltiplicazioni, basta che uno dei fattori sia zero ed il prodotto complessivo avrà per risultato zero. Quindi, se in un’espressione trovi anche numerose e grosse parentesi moltiplicate fra di loro (attento, vale solo se sono moltiplicate) e ti accorgi che una fa zero, è inutile procedere al calcolo di tutte le altre, tanto alla fine il prodotto si azzererà. Allora puoi scrivere subito il risultato complessivo zero, risparmiando molti calcoli e passaggi. Anzi, se quello zero dovesse poi comparire come addendo nell’espressione, puoi fare a meno di scriverlo del tutto! (perché zero è l’elemento neutro per l’addizione).

Lo zero e la divisione

Molti alunni sbagliano clamorosamente i calcoli quando c’è di mezzo lo zero, specialmente nelle divisioni: diciamo pure che scrivono delle cose indecenti al riguardo, anche in seconda ed in terza, quando ormai dovrebbero aver imparato da molto tempo queste regole. A parte la regola di annullamento del prodotto, che alcuni si dilettano ostinatamente ad ignorare, procedendo allegramente a fare calcoli su calcoli del tutto inutili (e pieni di errori che poi gli abbassano pure il voto), la cosa di gran lunga peggiore è quella di ignorare il comportamento dello zero nella divisione!

Vediamo perché è una pessima idea ignorare questa questione, molto più di altre regole della matematica. Immaginiamo di dover calcolare il risultato dell’operazione 0 : 10. Allora, molti ancora scrivono che il risultato è 10, oppure, probabilmente per via di qualche malvagia ed oscura presenza spiritica (leggi: non hanno studiato bene), addirittura che è 1. Questo succede perché pensano che, siccome zero ed uno sono elementi speciali, devono c’entrare sempre insieme per forza. Basterebbe però pensarci un momento, e si capirebbe che se non ho niente, e divido il niente fra un certo numero di persone, a ciascuna non potrà che arrivare… niente! Insomma:

In pratica: zero, diviso per qualsiasi numero diverso da zero, fa in ogni caso zero!

Per i più bravi: in simboli possiamo dire che ∀x | x ≠ 0 → 0 : x = 0

Immaginiamo di dover calcolare il risultato dell’operazione 3 : 0. Allora, molti ancora scrivono che il risultato è 0 (pensando che 0 è un elemento assorbente), oppure che fa 3 (confondendo lo zero con l’elemento neutro). Basterebbe ricordarsi che la divisione non ha né elemento neutro, né elemento assorbente, per non scrivere una cosa del genere! Adesso ragioniamoci sopra un momento. Se:

3 : 0 = 0 allora, per le proprietà delle operazioni inverse dovrebbe essere 0 · 0 = 3. Ma 0 · 0 ≠ 3 perché 0 è l’elemento assorbente della moltiplicazione e, quindi 0 · 0 = 0!! Se:

3 : 0 = 3, allora, per le proprietà delle operazioni inverse dovrebbe essere 3 · 0 = 3. Ma 3 · 0 ≠ 3 perché 0 è l’elemento assorbente della moltiplicazione e, quindi 3 · 0 = 0!!

Facendo un po’ di prove si capisce che 3 : 0 non può avere nessun numero come risultato, perché altrimenti, facendo l’operazione inversa e moltiplicando quel numero per zero, si dovrebbe ottenere 3 e questo è impossibile, perché zero è un elemento assorbente per la moltiplicazione e porta tutti i risultati a zero.

In pratica: È IMPOSSIBILE DIVIDERE PER ZERO!, Non si può fare, non si può nemmeno scrivere che lo vorremmo fare, perché non ha proprio nessun senso!

Per i più bravi: in simboli possiamo dire che ∀x | x ≠ 0 → x : 0 non esiste!

Quindi: se ti capita di scrivere una cosa come 3 : 0 , oppure, quando faremo le frazioni, una cosa come 3/0 , vuol dire che hai fatto un errore di calcolo! Torna indietro e trovalo. Se non lo trovi, cercalo di nuovo. Se ancora non lo trovi cancella quella cosa abominevole dal foglio, sarà sempre meglio che consegnarlo così!!

Immaginiamo di dover calcolare il risultato dell’operazione 0 : 0. Allora, molti ancora scrivono che il risultato è 0, perché siccome sono tutti zeri, cosa potrebbe mai venire? Naturalmente, visto che non si vede cos’altro potrebbe venire, per dispetto non viene zero o, almeno, non lo si può dire così facilmente. Adesso ragioniamoci sopra un momento e vediamo se:

0 : 0 = 4 per le proprietà delle operazioni inverse dovrebbe essere 4 · 0 = 0. Ma questo è vero, perché zero è l’elemento assorbente della moltiplicazione. Quindi è vero che 0 : 0 = 4. Però rifacciamo il discorso così:

0 : 0 = 1923 per le proprietà delle operazioni inverse dovrebbe essere 1923 · 0 = 0. Ma anche questo è vero, perché zero è ancora l’elemento assorbente della moltiplicazione. Quindi è vero che 0 : 0 = 1923.

Facendo un po’ di prove si capisce che qualsiasi numero si può considerare il risultato di 0 : 0 perché facendo l’operazione inversa e moltiplicando quel numero per zero, si ottiene sempre zero.

In pratica: 0 : 0 È UNA FORMA INDETERMINATA. Forse potrebbe essere un numero, ma comunque non si può stabilire quale!

Per i più bravi: in simboli possiamo dire che ∀x → 0 : 0 = x cioè qualsiasi numero si può considerare come il risultatato di 0 : 0 (in effetti, non si sa nemmeno se è un numero!)

Quindi: se ti capita di scrivere una cosa come 0 : 0, oppure, quando faremo le frazioni, una cosa come 0/0, vuol dire che hai fatto un errore di calcolo! Torna indietro e trovalo. Se non lo trovi, cercalo di nuovo. Se ancora non lo trovi, cancella quella cosa abominevole dal foglio, sarà sempre meglio che consegnarlo così!!

Le espressioni

Definizione: un’espressione è una sequenza ordinata di operazioni che “esprimono”, cioè spiegano, in che modo bisogna procedere per calcolare il valore di una quantità. 0

Per esempio A = 3 + 5 · 4 è un’espressione, perché mi dice “come devo fare” per calcolare il valore della quantità A. Anche A = 3 + 20 è un’espressione, perché anche questa mi dice come devo fare per calcolare il valore della quantità A. Anche A = 23 è un’espressione, anche se un po’ particolare, sempre perché mi dice come devo fare per calcolare il valore della quantità A; anzi, è l’espressione più utile di tutte, proprio perché mi dice direttamente quanto vale la quantità A, che alla fine è quello che mi interessa! 0

Fai attenzione: di solito sui libri le espressioni sono scritte solo come sequenza di operazioni, senza specificare di quale grandezza stiamo calcolando il valore. Questo succede perché interessa esercitare solo la procedura con cui si risolve l’espressione e quindi non servirebbe a niente inventarsi il nome di una grandezza da calcolare. Faremo così anche noi, negli esercizi di calcolo. Quando invece si affrontano dei problemi, si deve scrivere sempre l’espressione con davanti il nome della grandezza di cui stiamo determinando il valore, perché sapere di quale grandezza stiamo parlando è molto importante nei problemi, anzi è praticamente l’unica cosa che ci interessa! 2

Definizione: due espressioni sono “equivalenti” quando hanno lo stesso risultato. 0

Per esempio A = 1 + 6 : 2 e A = 9 − 5 sono equivalenti, perché il risultato di entrambe è 4. Anche A = 1 + 6 : 2 e A = 1 + 3 sono equivalenti, ma queste due espressioni hanno anche un legame più profondo, perché la seconda si può ottenere dalla prima risolvendo l’operatore “:”. Cioè la seconda espressione, oltre ad essere equivalente alla prima, può essere vista come una sua semplificazione.

In pratica: “risolvere” un’espressione numerica significa determinare una sequenza di espressioni, ognuna equivalente a quella che la precede, ottenuta da questa risolvendo uno o più operatori, secondo un ordine preciso, fino a quando resta solo un valore numerico. 0

Definizione: ognuna delle espressioni della sequenza si chiama “passaggio” della risoluzione dell’espressione iniziale. 0

Siccome ogni passaggio è equivalente al precedente, tutti i passaggi devono essere equivalenti fra loro ed alla espressione iniziale, altrimenti significa che sono stati commessi degli errori di calcolo, oppure errori nell’ordine di esecuzione delle operazioni. 2

Di solito ogni passaggio di risoluzione è “più semplice” di quello che lo precede, nel senso che almeno un operatore ed i suoi operandi, presenti nel passaggio precedente, vengono sostituiti dal risultato della loro operazione, nel passaggio successivo. Ad ogni passaggio si riduce via via il numero degli operatori presenti, finché non ne resta nessuno e rimane solo un numero, chiamato “risultato” dell’espressione. 0

Definizione: sa ora in poi chiameremo una sequenza di operazioni che siano tutte dello stesso livello, una “catena”. 0 Se compaiono più operatori dello stesso livello di fila e “racchiusi” fra operatori del primo livello (si chiama “catena” di operatori dello stesso livello),

Ad esempio, l'espressione 3 + 4 - 6 + 2 - 1 è una catena di primo livello.

Come si risolve un’espressione

Per risolvere un’espressione si può procedere in diversi modi, a seconda del grado di bravura in matematica o delle preferenze su come andare avanti. Tutti questi modi portano al risultato corretto, ma a seconda della scelta, ci può volere più o meno tempo, oppure più o meno passaggi. 2

In pratica: in generale, dovresti adattare il metodo a tua misura, in modo che ti permetta di arrivare al risultato nel modo più veloce possibile, però senza sbagliare. 2

Fai attenzione: non serve a niente fare cento operazioni a passaggio, ma poi ogni tanto sbagliarne una. Allo stesso modo, non serve a niente fare una sola operazione corretta a passaggio ricopiando un’espressione cento volte, ma poi dimenticare ogni tanto un pezzo nella ricopiatura o ricopiando male: non è una gara di velocità e non è una gara di amanuensi! 2

Espressioni senza parentesi 0

  1. Si risolvono tutti gli operatori del livello più alto che sono presenti nell’espressione. Al posto di quelle operazioni, nel passaggio successivo compare il loro risultato. Se compaiono più operatori dello stesso livello di fila e “racchiusi” fra operatori del primo livello (si chiama “catena” di operatori dello stesso livello), si risolvono tutti assieme NELL’ORDINE in cui sono scritti.

    2. Esempio: 3 + 4·6:3 − 5 il · ed il : si risolvono nello stesso passaggio (perché sono del più alto livello presente e formano una catena). Prima 4·6 = 24 poi 24 : 3 = 8.

    Viene 3 + 8 − 5

    Esempio: 3 + 12·6:32 − 5 il · ed il : non si risolvono perché NON formano una catena, in quanto dopo il : c’è una potenza, che non è un operatore del primo livello!

    Viene: 3 + 12·6:9 − 5 … adesso 4·6:9 è una catena!

    In pratica: si ricopia tutto, tranne gli operatori da risolvere ed i loro operandi. Al loro posto si mettono i risultati delle operazioni. È meglio, anche se non è obbligatorio, scrivere i risultati parziali del calcolo sopra il passaggio, perché così è più facile per chi deve controllare il tuo lavoro capire per quale motivo hai sbagliato in caso di errore (te lo dico perché potrebbe anche salvarti qualche punto durante la correzione di una verifica!).

Si ripete il punto 1) fino a ché non ci sono più operatori.

Siccome ad ogni passaggio dovresti risolvere tutti gli operatori del livello più alto presenti, una espressione senza parentesi dovrebbe essere risolta al massimo in tre passaggi, a seconda del livello massimo degli operatori presenti all’inizio!

Se all’inizio ci sono operatori del terzo livello (e anche del secondo e del primo), si dovrebbero usare al massimo tre passaggi. Esempio:

3 + 22 − 6·2:3 = prima la potenza

3 + 4 − 6·2:3 = poi la moltiplicazione e la divisione perché c’è una catena!

3 + 4 − 4 = poi entrambe (addizione e sottrazione) perché c’è una catena!

3

Se all’inizio ci sono operatori del secondo livello (e anche del primo), si dovrebbero usare al massimo due passaggi. Esempio:

5 + 10 : 5 + 1 = prima la divisione

5 + 2 + 1 = poi entrambe le addizioni perché c’è una catena!

8

Se all’inizio ci sono solo operatori del primo livello, si dovrebbe risolvere direttamente l’espressione in un solo passaggio. Esempio:

5 + 7 − 1 + 2 = tutte assieme perché c’è una catena!

13

Fai molta attenzione: alcuni pensano di riuscire meglio facendo solo una delle operazioni della catena alla volta e ricopiando tutto il resto. NON È MAI VERO!! È solo un’idea che qualcuno si mette in testa.

Infatti in ogni caso quelle operazioni bisogna farle allo stesso modo, sia che la catena si risolva in un solo passaggio, sia che la si faccia in più passaggi! Ma allora cosa ci si può guadagnare a ricopiare continuamente tutto, invece di ricopiare solo il risultato finale? Niente! Anzi, prima o poi si prende un abbaglio e si ricopia male, sbagliando tutto quello che viene dopo. Esempio: non fare mai così! Anche se ti sembra, non è vero che ti viene meglio!

2 + 3 + 4 − 6 + 1 = NO!
5 + 4 − 6 + 1 =
9 − 6 + 1 =
3 + 1 =
4

Con tre ricopiature inutili ti capiterebbe spesso di scambiare un − con un ·, oppure di non ricopiare qualche pezzo, facendo una gran confusione. Tanto 2 + 3, poi 5 + 4, poi 9 − 6, poi 3 + 1 ti tocca farle lo stesso e nello stesso ordine!!! Non esiste la seguente legge, ma tu fai finta di sì:

Zeresima legge di sopravvivenza matematica: non ricopiare MAI a stufo, fallo solo se è necessario od appropriato!

Fai estrema attenzione: è meglio lasciare SEMPRE gli operatori del primo livello da risolvere tutti insieme alla fine, ANCHE QUANDO sarebbe tecnicamente possibile risolverli prima!

Questo perché quando si fanno somme e sottrazioni di tanti elementi, è possibile cancellarne qualcuno senza fare l’operazione, quindi più ne metto assieme, più sarà facile che alcuni se ne vadano senza farmi fare fatica. Esempio:

3 + 5 + 2·3 − 4 − 3 − 5 =

3 + 5 + 6 − 4 − 3 − 5 =

3 + 5 lo lascio, anche se si sarebbe potuto fare. Così facendo però, se noti, ora hai 3… − 3 e + 5 … − 5 che sai che si azzerano perché sono operazioni inverse, senza dover fare nemmeno un conto!

Quindi resta 6 − 4 = 2!

Per i più bravi: per ridurre un’espressione più velocemente puoi risolvere operatori del secondo e del terzo livello (o catene di questi) nello stesso passaggio, però è opportuno che tu faccia questa cosa SOLO SE questi operatori sono separati fra loro da un operatore del primo livello.

Esempio:

3 + 2·3 − 22 =

3 + 6 − 4 siccome fra · e potenza c’è il − (che è del primo livello), è più veloce risolverli entrambi nello stesso passaggio.

Esempio:

3 + 2·32 − 1 =

3 + 2·9 − 1 perché fra · e potenza non c’è nessun operatore del primo livello.

Espressioni con le parentesi

  1. Si comincia a risolvere dalle parentesi più interne (di solito sono le tonde). Siccome dentro le parentesi più interne non ci sono parentesi, si utilizza esattamente la stessa procedura descritta per il caso senza parentesi!
  2. Una volta che dentro la parentesi più interna non ci sono più operatori, si può eliminare la parentesi (vuol dire che non la si ricopia più nel passaggio successivo).
  3. Si ripete di nuovo il punto 1) sulle nuove parentesi più interne, finché non ci sono più parentesi.
  4. Si risolve l’espressione senza parentesi che è rimasta, col metodo descritto sopra.

In pratica: si tratta di applicare sempre la procedura senza parentesi, limitandosi di volta in volta a lavorare solo dentro le parentesi più interne, finché alla fine si resta senza parentesi.

Fai attenzione: NON risolvere una parentesi alla volta. Se ci sono più parentesi tonde, portale avanti tutte assieme, non una dopo l’altra. Lo stesso vale per le quadre e le graffe.

Esempio:

Si! No!
3 + (2·3 – 1) – (32 – 2·4) 3 + (2·3 – 1) – (32 – 2·4)
3 + (6 – 1) – (9 – 2·4) 3 + (6 – 1) – (32 – 2·4)
3 + 5 – (9 – 8) 3 + 5 – (32 – 2·4)
3 + 5 – 1 3 + 5 – (9 – 2·4)
7 3 + 5 – (9 – 8)
  3 + 5 – 1
  7

Per i più bravi: per ridurre un’espressione con le parentesi più velocemente puoi ri-solvere operatori del secondo e del terzo livello nello stesso passaggio ovunque si trovino (anche se non sono dentro la parentesi più interna), però fallo SOLO SE questi operatori non hanno né prima né dopo operatori di livello superiore al primo.

Esempio:

3 ∙ 5 + 1 – [10 : 2 – (1 + 22)]

15 + 1 – [5 – (1 + 4)]

In teoria dovresti risolvere solo il 22 nella parentesi, però il primo 3 ∙ 5 non ha intorno nessun operatore di livello superiore al primo ed anche il 10 : 2 non ha intorno operatori di livello superiore al primo.

Perché questa regola funziona? Osserva la moltiplicazione 3 ∙ 5. Per regola, questa operazione DEVE sicuramente essere fatta PRIMA del + che la segue, perché il + è di livello inferiore. Questo significa che posso aspettare quanto mi pare, ma a un certo punto per poter risolvere il +, quel 3 ∙ 5 lo dovrò calcolare! Allora, tanto vale non aspettare e farlo subito, così da trascinarmi dietro meno cose da ricopiare (ricorda la zeresima legge!)

Per i bravissimi: in alcuni casi, si può procedere facendo comparire un operatore con due operandi dove, nel passaggio precedente, c’era un numero. Naturalmente, i due passaggi devono restare equivalenti, perciò l’operazione introdotta deve dare per risultato il numero di cui va a prendere il posto. Un passaggio di questo tipo si chiama “artificio”.