Divisibilità, M.C.D. e m.c.m.

Con l’inizio dello studio della divisibilità praticamente si abbandona il calcolo con i numeri decimali (operazioni con la virgola) e ci si concentra sul calcolo con i numeri naturali. Questo non si fa perché i numeri decimali siano poco utili: è vero esattamente il contrario! Nella vita di tutti i giorni, nelle scienze applicate e nel lavoro dell’industria sono i decimali ad essere utilizzati, quasi esclusivamente. Nessun calcolatore elettronico adotterebbe mai le procedure che vedremo, fondate sui numeri naturali. Perché allora lasciamo perdere i decimali? Il motivo è che non c’è altro di fondamentale da dire in proposito, almeno al livello della Scuola Media: ormai sai tutto quello che ti serve per lavorarci. Invece, trattando i naturali, si possono ancora approfondire aspetti delle proprietà dei numeri e degli operatori che assumono importanza, a volte anche fondamentale, nella matematica generale.

Forse ti chiederai come mai, visto che nella realtà si lavora con i decimali, siano state sviluppate procedure con i numeri naturali tanto intensamente da averne da studiare per anni. Il motivo è principalmente di tipo storico: quelle procedure sono state inventate in epoche antiche (dagli Egizi fino al Medioevo), quando il sistema posizionale era ancora sconosciuto (Egizi), oppure ancora poco utilizzato (Basso Medioevo). In quelle epoche le operazioni erano molto difficili da risolvere, soprattutto la divisione, che era estremamente complicata perché, al contrario delle altre, può avere un risultato non intero anche se gli operandi sono interi! Solo pochissimi erano in grado di farla e qualunque sotterfugio era prezioso, pur di evitare quei risultati non interi, anche se solo in qualche caso particolare: la frazione, che è un modo di fare una divisione non intera sostituendola con una procedura a risultati interi, è stata la più longeva creatura di quel periodo ed è ancora oggi molto utilizzata. Ti accorgerai che quando si devono fare calcoli a mano e con numeri naturali piccoli le procedure inventate dagli antichi Egizi saranno molto comode anche per te.

Ricorda questo punto fondamentale: da ora in poi tutte le definizioni e le procedure coinvolgeranno sempre e SOLO i numeri naturali. Inoltre, poiché la divisione è stata l’operazione che, per motivi storici, ha concentrato su di sé l’attenzione dei matematici, potrai osservare che tutte le definizioni e le procedure riguarderanno in qualche modo la divisione, oppure il suo operatore inverso, la moltiplicazione (mai l’addizione e la sottrazione).

Definizione: un numero naturale a si dice “divisibile per” un numero naturale b se il risultato della divisione a : b è ancora un numero naturale, oppure, che è la stessa cosa, se il resto della divisione è 0.

Per esempio, 27 è divisibile per 3 perché 27 : 3 = 9 e 9 è naturale. Invece, 27 non è divisibile per 2, perché 27 : 2 = 13,5 e 13,5 non è un numero naturale (oppure si può dirlo anche perché il risultato è 13 con resto 1). Perciò, quando si dice che un numero è “divisibile per 2”, non significa semplicemente che la divisione per 2 è possibile (anche perché la divisione per 2 è sempre possibile e quindi non avrebbe senso definire una parola apposta per dirlo), ma significa che il risultato di quella divisione è un numero naturale. Altro esempio: non ha senso chiedersi se 10 è divisibile per 2,5 perché uno degli operandi non è un numero naturale, anche se l’altro operando lo è e lo è anche il risultato (che è 4).

Definizione: un numero naturale a si dice “multiplo di” un numero naturale b se a si può ottenere moltiplicando b per un altro numero naturale.

Per esempio 27 è multiplo di 3 perché 27 = 3 · 9. Invece, 27 non è multiplo di 2, perché non esiste nessun numero naturale che moltiplicato per 2 faccia 27.

Osserva che dire che 27 è multiplo di 3, significa dire che esiste un numero naturale che moltiplicato per 3 fa 27 (in questo caso è 9). Ma allora, se faccio l’operazione inversa 27 : 3, ottengo un numero naturale (naturalmente, proprio lo stesso 9 di prima!). Ma questo è la stessa cosa che dire che 27 è divisibile per 3!

In pratica: se a e b sono due numeri naturali ed è vero che “a è un multiplo di b”, allora è vero anche che “a è divisibile per b”.

Definizione: un numero naturale b si dice “divisore di” un numero naturale a se il risultato della divisione a : b è ancora un numero naturale, oppure, che è la stessa cosa, se il resto della divisione è 0.

Allora dire che b è un divisore di a, o che a è divisibile per b è la stessa cosa, cambia solo il punto di vista. Per esempio 10 è divisibile per 2, perché 10 : 2 = 5 che è naturale. Ma allora 2 è un divisore di 10, sempre perché 10 : 2 è naturale.

In pratica: se a e b sono due numeri naturali, dire che “a è divisibile per b”, o dire che “b è un divisore di a” è la stessa cosa, cambia solo il punto di vista (lo si dice rispetto al primo numero oppure rispetto al secondo)

Definizione: in alcuni casi, specialmente quando si parla di unità di misura, invece del termine “divisore di” si utilizza il termine “sottomultiplo di”.

Quindi, dire che 2 è un divisore di 10, oppure che è un sottomultiplo di 10 è la stessa cosa.

In pratica: dicendo che

di fatto si afferma sempre la stessa cosa, ossia che la divisione a : b è esatta.

Fai molta attenzione: “divisore” e “divisore di” non hanno lo stesso significato.

Sai già che “divisore” indica l’operando destro di una divisione. “Divisore di”, invece, indica una relazione fra i due numeri naturali a e b, cioè “mi racconta” che a e b sono fatti in modo tale che se facessi la divisione fra loro, allora otterrei un numero naturale. Per esempio, se dico che “2 è divisore di 22”, sto affermando che se facessi 22:2 il risultato verrebbe naturale, ma nessuno mi sta chiedendo di fare effettivamente quella divisione! Se dico che “2 non è divisore di 23”, sto affermando che se facessi 23:2 il risultato non verrebbe naturale. Osserva però che appena scrivo effettivamente le due divisioni degli esempi, cioè 22:2 e 23:2 , allora 2 è in entrambi i casi il divisore, nel senso che in entrambi i casi è l’operando destro dell’operazione.

Fai molta attenzione: quando si dice che il risultato della divisione deve essere un naturale, si parla del risultato della operazione fatta fino in fondo, NON fatta fino alla parte intera senza considerare il resto, altrimenti ogni numero sarebbe un divisore di qualsiasi altro.

Divisori e multipli speciali

Se dividi un numero naturale qualsiasi per 1 ottieni il numero stesso, che è appunto un naturale. Allora puoi concludere che qualsiasi numero naturale è divisibile per 1 (o, che è lo stesso, che 1 è un divisore di qualsiasi numero naturale, o che qualsiasi numero naturale è un multiplo di 1).

Allo stesso modo, dividendo un numero naturale per sé stesso si ottiene sempre 1, che è naturale: si può quindi concludere che qualunque numero naturale è divisibile per sé stesso (o che è un divisore di sé stesso, o che è un multiplo di sé stesso).

In pratica: tutti i numeri naturali possiedono almeno due divisori, che sono 1 ed il numero stesso.

Oltre a questi due divisori, un numero naturale può averne anche altri, ma non c’è una regola per scoprire quanti, senza elencarli tutti. Osserva però che nessun numero naturale può avere un divisore più grande di sé stesso. Infatti se provi a dividere un numero naturale per un altro numero naturale più grande di lui, il risultato sarà sempre un numero del tipo 0,…. cioè un numero decimale.

In pratica: nessun numero naturale può avere un divisore maggiore del numero stesso.

Anche se non è proprio completamente vero, puoi anche considerare che una cosa del genere vale anche per i multipli (se ti piace ragionarci su, prova a pensare perché non è proprio vero).

In pratica: nessun numero naturale può avere un multiplo minore del numero stesso.

Da queste osservazioni puoi anche facilmente capire che, siccome i numeri naturali più piccoli di quello dato non sono infiniti, l’insieme dei divisori di qualunque numero ha un numero finito di elementi. Al contrario, siccome per ottenere un multiplo mi basta moltiplicare il numero naturale di partenza per un altro numero naturale qualsiasi ed i numeri naturali sono infiniti, allora l’insieme dei multipli di qualunque numero ha infiniti elementi (cioè qualunque numero ha infiniti multipli)

In pratica: ogni numero ha sempre un numero finito di divisori (almeno due). Invece, ha sempre infiniti multipli.

Osservazione: nessun numero può avere divisori più grandi della propria metà, a parte il numero stesso. Infatti, dividendo un numero per la sua metà, si ottiene 2, mentre dividendolo per sé stesso si ottiene 1; dividendo per un numero maggiore della metà, quindi, si ottiene certamente più di 1, ma meno di 2. Siccome non esistono altri numeri naturali compresi fra 1 e 2, il risultato della divisione non può essere naturale e quindi il numero scelto non può essere un divisore. Per esempio, consideriamo il numero 12. La sua metà è 6 e quindi 12 non può avere divisori maggiori di 6, a parte 12 stesso. Infatti, 12 : 6 = 2 (6 è un divisore) e 12 : 12 = 1 (12 è un divisore) ma tutti gli altri naturali maggiori di 6 (e minori di 12) daranno risultati fra 1 e 2 e non possono quindi essere divisori di 12. Infatti 12:7 = 1,71 e 12:8 = 1,50 e 12:9 = 1,33 e 12:10 = 1,20 e 12:11 = 1,09.

Definizione: un numero è detto “primo” se ha per divisori solo 1 e sé stesso.

Esistono infiniti numeri primi, quindi non li puoi imparare tutti, ma è una buona norma di salute in matematica ricordare tutti i numeri primi almeno fino al 20 (sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e un trucco per ricordarli è pensare al 2 e poi a tutti i numeri dispari, scartando quelli divisibili per 3, o 5). Il numero 1, pur avendo come divisori solo 1 e sè stesso, non è considerato un numero primo: i numeri primi, infatti, si utilizzano come divisori nelle scomposizioni a fattori primi e, poichè 1, usato come divisore, non cambia il risultato, non ha senso considerarlo.

Osserva che tutti i numeri primi, tranne il 2, sono dispari, perchè un numero pari ha certamente il divisore 2 e quindi non può essere un numero primo. Ad ogni modo, questo non significa che tutti i numeri dispari siano anche numeri primi, è vero solo il contrario.

In pratica: a parte il 2, tutti i numeri primi sono dispari, ma non tutti i numeri dispari sono anche numeri primi.

Massimo comune divisore

Definizione: il massimo comun divisore (M.C.D.) fra due numeri naturali è il più grande numero naturale che sia divisore di entrambi i numeri di partenza.

Per esempio, il massimo comun divisore fra 24 e 36 è 12, perché 12 è un divisore sia di 24 che di 36 e non ci sono altri numeri naturali più grandi di 12 che siano divisori sia di 24 che di 36.

Siccome tutti i numeri naturali possiedono il divisore 1, il M.C.D. fra qualunque insieme di numeri naturali esiste sempre, perché avranno sempre almeno il divisore comune 1.

Siccome il M.C.D. deve essere un divisore per entrambi i numeri, allora deve essere anche più piccolo del minore dei due, o al massimo uguale. Infatti se fosse più grande di così non potrebbe essere un suo divisore, perché nessun numero possiede divisori più grandi di sé stesso.

In pratica: il M.C.D. di un insieme qualunque di numeri naturali esiste sempre ed è compreso fra 1 ed il più piccolo dei numeri dati.

Minimo comune multiplo

Definizione: il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due numeri naturali è il più piccolo numero naturale che sia multiplo di entrambi i numeri di partenza.

Per esempio, il minimo comune multiplo fra 10 e 15 è 30, perché 30 è un multiplo sia di 10 che di 15 e non ci sono altri numeri naturali più piccoli di 30 che siano multipli sia di 10 che di 15.

Siccome il m.c.m. di due numeri deve essere un multiplo per entrambi i numeri, allora deve essere anche più grande del maggiore dei due numeri, o come minimo uguale. Infatti se fosse più piccolo di così, non potrebbe essere un suo multiplo, perché nessun numero possiede multipli più piccoli di sé stesso.

Il prodotto di due numeri naturali è certamente un multiplo comune ad entrambi: è multiplo del primo perché si ottiene moltiplicando il primo numero per il secondo (che è naturale); è multiplo del secondo perché si ottiene moltiplicando il secondo numero per il primo (che è naturale). Siccome la moltiplicazione è un’operazione sempre possibile in N, allora il m.c.m. di due numeri naturali esiste sempre (perché posso sempre fare il loro prodotto ed ottenere così almeno un multiplo comune); inoltre il m.c.m. deve essere più piccolo del loro prodotto, o al massimo uguale.

In pratica: il m.c.m. di un insieme qualunque di numeri esiste sempre ed è compreso fra il più grande dei numeri dati ed il loro prodotto.

La retta dei numeri qui sotto riassume tutta la situazione: presi due numeri naturali qualsiasi (chiamati qui a e b), il loro M.C.D. è sempre compreso fra 1 ed a (il più piccolo dei due), mentre il loro m.c.m. è sempre compreso fra b (il più grande dei due) ed il loro prodotto.

RettaMCDmcm

Dalle osservazioni precedenti puoi capire che tutti i numeri strettamente compresi fra a e b non possono in nessun caso essere né il loro M.C.D., né il loro m.c.m.

Fai moltissima attenzione: non farti ingannare dagli aggettivi massimo e minimo: il “minimo comune multiplo” fra due numeri è sempre maggiore del loro “massimo comun divisore”!

Quello che conta sono i sostantivi divisore e multiplo: un multiplo (anche se è il più piccolo di loro), sarà sempre più grande di un divisore (anche se è il più grande di loro). Pensa a due tribù, una di nani (i divisori comuni) ed una di giganti (i multipli comuni): un nano sarà sempre più piccolo di un gigante, anche se confronti il massimo dei nani col minimo dei giganti!

Definizione: se due numeri naturali hanno il M.C.D. = 1 si dice che sono “primi tra loro”.

Ricordati che essere “primo” è una proprietà che si può assegnare ad un singolo numero naturale, cioè ogni numero naturale ha la proprietà di essere “primo”, oppure no. Invece essere “primi tra loro” è una relazione fra due o più numeri naturali.

Due numeri “primi” sono anche “primi tra loro”, perché essendo entrambi divisibili solo per 1 e per sé stessi, possono avere solo 1 come divisore comune. Al contrario, due numeri “primi tra loro” non sono necessariamente entrambi numeri “primi”: anzi, potrebbe non essere primo nessuno dei due! Per esempio:

M.C.D. (7 ; 13) = 1 perché D(7) = {1,7} e D(13) = {1,13} e 1 è l’unico comune.
M.C.D. (8 ; 9) = 1 perché D(8) = {1,2,4,8} e D(9) = {1,3,9} e 1 è l’unico comune, anche se nessuno dei due numeri è primo.

In pratica: se due numeri naturali sono primi fra loro, il loro m.c.m. coincide col loro prodotto.

Infatti la fattorizzazione del primo numero non può contenere nessun fattore presente anche nella fattorizzazione del secondo (altrimenti quel fattore sarebbe rientrato nel calcolo del M.C.D., che non sarebbe venuto 1!). Allora nel calcolo del m.c.m. dovrò prendere tutti i fattori del primo numero con i loro esponenti (perché la fattorizzazione del secondo numero non li può cambiare, non contenendo quei fattori) e moltiplicarli per tutti i fattori del secondo numero con i loro esponenti (perché la fattorizzazione del primo numero non li può cambiare, non contenendo quei fattori). Per esempio:

m.c.m.(8,9) = 9 · 8 = 72.
Infatti 8 = 23 e 9 = 32 perciò m.c.m.(8,9) = 23 · 32 cioè 8 · 9!