Numeri decimali e frazioni

Abbiamo già visto lo scorso anno che una frazione può essere considerata, oltre che come un operatore, anche come quel numero che si ottiene risolvendo la frazione stessa, cioè eseguendo la divisione fra numeratore e denominatore, indicata dalla linea di frazione. Tutte le operazioni fra frazioni che abbiamo studiato non sono altro che regole per applicare i normali operatori + , − , · , : e potenza a questi numeri, scritti in forma di frazione. È ovvio che eseguendo la divisione fra numeratore e denominatore, salvo il caso in cui la frazione sia apparente, il risultato sarà sempre un numero decimale, cioè con la virgola. Ricordiamo quindi che:

In pratica: se prendi in esame una qualunque frazione, questa corrisponde sempre ad un numero decimale, ottenuto risolvendo la frazione stessa. Tutti i numeri di questo tipo sono numeri razionali (ripassa).

Partiamo adesso dal punto di vista opposto e consideriamo un numero decimale qualsiasi. Possiamo chiederci se questo numero corrisponde sempre ad una frazione, oppure, il ché è la stessa cosa, se tutti i numeri decimali sono razionali. La risposta è negativa:

In pratica: se prendi in esame un qualunque numero decimale, questo non sempre corrisponde ad una frazione. Cioè, per alcuni numeri decimali non esiste una frazione che, risolta, dia come risultato quel numero. In altre parole, non tutti i numeri decimali sono razionali.

I numeri decimali non razionali, cioè che non hanno una frazione che gli corrisponde, si chiamano numeri irrazionali. Possiamo quindi raggruppare insiemisticamente tutti i numeri (detti numeri reali) nell’insieme R. Questo insieme è costituito da due sottoinsiemi complementari (I, i numeri irrazionali, e Q, i numeri razionali). Ciò significa che non ci sono altri “tipi” di numeri reali: o sono razionali, o sono irrazionali. A loro volta, come abbiamo già visto l’anno scorso, i numeri razionali comprendono i numeri naturali (gli interi positivi), che sono il risultato della risoluzione delle frazioni apparenti.

Classificazione dei numeri razionali

Ora ci concentriamo sulla forma che possono avere i numeri decimali corrispondenti ad una frazione, (ossia i numeri decimali razionali): ci interessano i modi possibili in cui può essere fatta la loro parte decimale (la parte intera non dà nessuna informazione importante).

Osserva: la divisione può procedere in due modi: o ad un certo punto termina, perché si ottiene il resto 0, oppure non termina mai, perché si ottiene un resto che era già stato ottenuto prima e quindi tutto il calcolo si ripete di nuovo allo stesso modo, all’infinito.

Esempio:

3/4 = 0,75
Si ottiene il resto 0 e ci si ferma		 2/3 = 0,66….
Si continua ad ottenere il resto 2 ad infinito

Per i più bravi: non è possibile che ci siano altri casi, oltre ai due detti sopra, perché se per esempio dividiamo un numero per 5, al massimo si possono ottenere 5 resti diversi: 0 (nel qual caso la divisione termina), 1, 2, 3, o 4. Non posso ottenere resti più grandi di 4, perché altrimenti vuol dire che il 5 “ci stava” ancora nel nostro numero! Allora, al massimo la divisione per 5 può procedere per 5 iterazioni, poi per forza o viene il resto 0, oppure si ripete uno dei resti precedenti, perché non ce ne sono altri che possono venire!

In pratica: siccome un numero razionale è il risultato di una divisione (in quanto corrisponde ad una frazione), o possiede un numero finito di cifre dopo la virgola (in questo caso si dice che è limitato), oppure ad un certo punto una cifra, o un gruppo di cifre, si ripetono all’infinito (in questo caso di dice che è illimitato periodico).

Tutti i numeri razionali possiedono quindi una precisa struttura, che possiamo osservare con l’esempio del numero 12,9357

La parte che precede la virgola si chiama parte intera, perché è il numero intero che resta eliminando tutto ciò che segue la virgola. Tutto ciò che segue la virgola è la parte decimale, che per i numeri razionali illimitati si suddivide ulteriormente in due parti: il periodo, cioè l’insieme delle cifre che si ripetono infinitamente e che si trova sempre in coda al numero, e l’antiperiodo, che è formato da tutte le cifre dopo la virgola, ma prima del periodo.

Definizione: un decimale illimitato periodico in cui il periodo parte subito dopo la virgola, cioè che non ha antiperiodo, è detto illimitato periodico semplice. Al contrario, se è presente un antiperiodo, il numero è detto illimitato periodico misto.

Per i più bravi: è interessante osservare che un numero illimitato periodico non ha niente di strano, o di diverso, rispetto a un numero limitato. La differenza fra i due tipi di numero è solo un effetto dalla rappresentazione posizionale, cioè è un piccolo “inghippo” dovuto al modo di rappresentare i numeri con un sistema posizionale, non ad una differenza nella natura stessa dei numeri.

Per esempio, sappiamo che la frazione 1/2 si scrive 0,5 in decimale, cioè è un numero decimale limitato, mentre la frazione 1/3 si scrive 0,3 in decimale, cioè è un numero decimale illimitato periodico (semplice). Questo però non è vero nella numerazione in base 9. In quella base 1/3 si scrive 0,3 ed è quindi è un numero “nonale” limitato, mentre la frazione 1/2 si scrive 0,4 ed è quindi un numero “nonale” illimitato periodico (semplice).

Dalla frazione al decimale

Sai già che per ottenere il numero decimale corrispondente alla frazione devi eseguire la divisione. È però possibile classificare il tipo di decimale che si otterrà da una certa frazione, senza eseguire l’operazione, ma analizzando solo la struttura della frazione stessa. Le regole per classificare il decimale corrispondente ad una frazione sono:

Fai attenzione: è importante osservare che l’analisi del denominatore è sufficiente a determinare il tipo di decimale che si otterrà (il numeratore della frazione non ha alcun gioco). È però necessario che prima di scomporre il denominatore, la frazione sia ridotta ai minimi termini. Vale sempre la regola: prima di fare qualsiasi cosa con le frazioni… SEMPLIFICA!

Esempi:

3/8 darà un decimale limitato, perché 8=23, cioè la fattorizzazione a numeri primi del denominatore contiene solo il fattore 2.
4/33 darà un decimale illimitato periodico semplice, perché 33=3·11, cioè la fattorizzazione in primi del denominatore non contiene nessun fattore 2, o 5.
7/15 darà un decimale illimitato periodico misto, perché 15=3·5, cioè la fattorizzazione in primi del denominatore contiene il fattore 5, ma anche il fattore 3.
3/15 darà un decimale limitato! Questo perché prima di scomporre 15=3·5, si deve ridurre la frazione, che diventa 1/5 ed ora il denominatore non contiene più il fattore 3, ma solo il fattore 5!

Dal decimale alla frazione

È possibile, seguendo alcune regole, determinare la frazione equivalente ad un numero decimale razionale, cioè trovare quella frazione che risolta mi dà proprio il numero decimale di partenza.

Definizione: la frazione corrispondente ad un numero decimale è detta frazione generatrice del numero razionale dato.

Bisogna distinguere i casi in cui il numero decimale sia limitato, oppure illimitato.

Esempi:

0,75 → 75/100 che semplificata diventa 3/4.

10,3 → (103 – 10) / 9 che semplificata diventa 93 / 9 = 31 / 3

24,13 → (2413 – 241) / 90 che semplificata diventa 2172 / 90 = 362 / 15

Se esegui la prova risolvendo le frazioni generatrici con la calcolatrice, verificherai che effettivamente il risultato delle divisioni è di nuovo il numero decimale di partenza.