In pratica: ricorda che queste definizioni sono molto importanti e sono sempre richieste all'esame di terza. Preso un numero relativo qualsiasi:
Fai estrema attenzione: quando si deve svolgere un’operazione fra numeri relativi, QUALUNQUE ESSA SIA, la si deve spezzare in due tempi ben distinti e separati:
L’ordine delle cose deve essere esattamente questo, perché nei numeri relativi il segno si scrive prima del valore assoluto e quindi è importante determinare il segno e scriverlo SUBITO, in particolare PRIMA di cominciare a fare qualunque conto numerico. Se non lo si fa capita facilmente che, concentrandosi sui calcoli, il segno venga dimenticato e scompaia nel nulla. L’unica eccezione, come vedremo, si ha nella somma / differenza di frazioni, dove per prima cosa si trasformano le frazioni allo stesso denominatore: tuttavia, questa eccezione conferma la regola, perché questa procedura, in pratica, è necessaria per determinare il segno del risultato!
In pratica:
Ad esempio: (−3) + (+4)
Osservo che il segno del risultato deve essere + perché questo è il segno dell’operando di valore assoluto maggiore. Quindi scrivo:
(−3) + (+4) = +
SENZA INIZIARE a fare i conti numerici, così è garantito che non mi dimenticherò di scrivere quel segno, una volta fatti i conti. Solo a questo punto faccio effettivamente i conti numerici. Siccome i due operandi sono discordi, i loro valori assoluti vanno sottratti (il maggiore meno il minore, cioè 4 - 3).
(−3) + (+4) = +1
Naturalmente tu scriverai un solo passaggio, qui io l’ho diviso in due solo per chiarezza.
Fai attenzione: quando si devono sommare due frazioni, prima di determinare il segno si trasformano allo stesso denominatore. Questo è l’unico caso, fra tutte le operazioni, in cui si fa qualcosa PRIMA di determinare il segno. Questo perché una volta trasformate le frazioni, diventa immediatamente comprensibile qual è la frazione maggiore e, quindi, il segno del risultato.
Ogni volta che è possibile, è bene raggruppare assieme gli operatori di primo livello in catene le più lunghe possibile. Nel calcolo con i numeri, questo non è obbligatorio, ma se può semplificare molto i calcoli. Nel calcolo con le lettere, invece, è una procedura obbligatoria, perché altrimenti non si può procedere.
È possibile far cadere le parentesi:
La seconda condizione è in realtà una semplificazione, perché è possibile far cadere la parentesi anche se ci sono operatori di livello superiore all'interno. Per esempio:
2 - (5 - 4 * 3 * 2)
è una parentesi che contiene una catena di moltiplicazioni, ma la si può anche considerare come una parentesi che contiene due addendi, di cui uno non ancora "risolto": il primo addendo è +5, il secondo è l'intera catena -4 * 3 * 2. Infatti, se risolvessi il passaggio normalmente, verrebbe 2 - (5 - 24), cioè avrei una parentesi con due addendi, il +5 ed il -24, che altro non era che il - 4 * 3 * 2.
In questo caso, quando cade la parentesi, applico la regola ad ogni addendo (o equivalente di addendo), quindi il +5 diventa -5, ma il -4 * 3* 2 NON diventa +4 * (-3)* (-2) perché l'intera catena è l'addendo e quindi va cambiato il segno dell'intera catena, non di ognuno dei fattori! Viene
2 - (-5 + 4 * 3 * 2)
In questo caso cadono l’operatore davanti alle parentesi ed anche le parentesi stesse, cioè vengono semplicemente cancellati senza pietà e senza altre considerazioni.
Il fatto che le parentesi non possano cadere se sono precedute o seguite da operatori di livello superiore al primo dipende banalmente dalle regole delle espressioni: far cadere le parentesi equivale a risolvere un operatore di primo livello, ma gli operatori di primo livello si possono risolvere solo DOPO quelli di livello superiore.
Esempio:
(6 − 8 + 5 − 3) + (7 − 1 + 2 − 9) − (−4 + 5 − 3)
Primo passo, verifico che se le parentesi possono cadere. In questo caso tutte e tre le parentesi contengono solo operatori di primo livello e sono precedute e seguite da operatori del primo livello (l’inizio e la fine dell’espressione contano come operatori del primo livello perché posso sempre pensare, per qualunque espressione, di aggiungere prima e dopo un addendo 0). Con la caduta delle parentesi l’espressione diventa:
6 − 8 + 5 − 3 + 7 − 1 + 2 − 9 + 4 − 5 + 3
È importante sottolineare ancora che il + del + 7 NON È il + che c’era davanti alla parentesi, ma è il segno che il 7 aveva già dentro la parentesi, che è stato riportato in base alla regola. Allo stesso modo, il + del + 4 deriva dal fatto che davanti alla parentesi c’era il − e la regola in questo caso dice che si deve fare l’opposto di tutti i segni all’interno (infatti sono cambiati anche i segni del + 5 del − 3)
A questo punto procedo sommando ogni termine come se fosse un numero relativo col suo segno e ci fosse un’addizione nascosta.
6 − 8 lo penso come 6 + (−8) ed ottengo −2 poi −2 + 5 lo penso come (−2) + (+5) ed ottengo +3. Si procede così fino in fondo all’espressione.
Impara bene le seguenti regole, valide quando si moltiplicano due operandi.
In pratica:
1. Per determinare il segno del risultato: si prende sempre + se i due operandi sono concordi, si prende sempre − se sono discordi. Di solito si dice "meno per meno dà più", "più per più da più". Invece "meno per più dà meno" e "più per meno dà meno".
2. Per determinare il valore assoluto del risultato: si moltiplicano normalmente i valori assoluti degli operandi.
Avrai notato che, diversamente da quello che succede nell’addizione, il segno del risultato di una moltiplicazione è completamente indipendente dai valori assoluti degli operandi. In questo senso la moltiplicazione fra relativi è molto più semplice dell’addizione.
Fai attenzione: siccome la regola per il segno della moltiplicazione è più facile di quella dell’addizione, alcuni alunni tendono ad usare questa regola anche quando non ci sono moltiplicazioni, ma solo addizioni. Se sei uno di loro, mi dispiace per te, ma per quanto ti possa sembrare strano (!) , se devi fare un’addizione, devi usare la regola di segno dell’addizione, NON quella della moltiplicazione, altrimenti il risultato sarà sbagliato.
Se si deve moltiplicare una catena di operandi, conviene determinare prima il segno del risultato, "moltiplicando" a catena i segni degli operandi e poi moltiplicare in catena i valori assoluti.
Esempio:
(−2) · (−5) · (+4) · (−1) · (+2) =
Prima moltiplica in catena i segni: − · − fa +, poi + per + fa +, poi + per − fa −, poi − per + fa −. Quindi il segno del risultato sarà − e lo scrivo subito.
(−2) · (−5) · (+4) · (−1) · (+2) = −
A questo punto moltiplico i valori assoluti senza più preoccuparmi dei segni che vedo, perché li ho già considerati. Meglio ancora se riscrivo l’intera catena con davanti il segno che ho determinato e poi tutti gli operandi in valore assoluto.
(−2) · (−5) · (+4) · (−1) · (+2) = − 2 · 5 · 4 · 1 · 2 questo passaggio di scrivere la catena dei valori assoluti non è obbligatorio, ma può essere molto utile, e lo consiglio, quando c’è una catena di moltiplicazioni e divisioni di frazioni, perché i segni tendono ad intralciare le semplificazioni in croce e poi a diventare poco visibili ed alla fine ad essere dimenticati.
(−2) · (−5) · (+4) · (−1) · (+2) = −80
Sai già dalla Prima che una divisione può sempre essere trasformata in una moltiplicazione. Siccome questa è una proprietà degli operatori e non degli operandi su cui agiscono, vale anche quando gli operandi sono numeri relativi.
Per risolvere una divisione fra numeri relativi, trasforma tutte le divisioni in moltiplicazioni, invertendo gli operandi destri e poi lavora normalmente con le regole della moltiplicazione.
In particolare: la regola per determinare il segno di una divisione è la stessa di quella della moltiplicazione.
Suggerimento: quando riscrivi la catena con gli operandi destri invertiti, ti conviene aver già determinato il segno del risultato (ma se ti ricordi che è sempre la prima cosa da fare...), così non avrai bisogno di riscrivere i segni di tutti gli operandi, ma solo quello del risultato, messo davanti.
Esempio: prima determina il segno e trasforma i : in · come facevi già gli anni scorsi.
(−1/2) : (+1/4) · (+2/3) : (−2/5) = +1/2 · 4/1 · 2/3 · 5/2
poi semplifica in croce i valori assoluti, senza i segni tra i piedi, e riporta il risultato.
(−1/2) : (+1/4) · (+2/3) : (−2/5) = +1/2 · 4/1 · 2/3 · 5/2 = +10/3
1. Per determinare il segno del risultato: è sempre +, tranne quando la base è negativa E l’esponente è dispari.
2. Per determinare il valore assoluto del risultato: si fa la normale potenza, se l’esponente è positivo. Se l’esponente è negativo, si fa il reciproco della normale potenza.
Deve essere chiaro che affinché il segno del risultato venga negativo, che NON BASTA che la base sia negativa e NON BASTA NEANCHE che l’esponente sia dispari. BISOGNA che SI VERIFICHINO ENTRAMBE LE COSE CONTEMPORANEAMENTE!
Altra cosa che deve essere chiara: per il segno del risultato NON CONTA NIENTE se l’esponente è positivo, o negativo: conta SOLO se l’esponente è pari o dispari.
Esempi:
| (+2)2= +4 | (−2)2= +4 | (+2)−2= +1/4 | (−2)−2= +1/4 |
| (+2)3= +8 | (−2)3= −8 | (+2)−3= +1/8 | (−2)−3= −1/8 |
Come vedi tutte le potenze della prima riga vengono positive, perché l’esponente è sempre pari (positivo o negativo che sia). Nella seconda riga vengono negative solo quelle potenze che hanno la base negativa E l’esponente dispari (positivo o negativo che sia).