Potenza

Probabilmente hai già visto alle Elementari qualche esempio di potenza e forse ne hai anche calcolata qualcuna. Comunque, nel caso che non te lo ricordassi, una potenza si scrive così:

4³ = 64

In pratica: l’operando sinistro della potenza si chiama base (4 nel nostro esempio), mentre quello destro si chiama esponente (3 nel nostro esempio) e si scrive più piccolo, in alto a destra sopra la base. Il risultato di un’operazione di potenza si chiama potenza (64 nell’esempio), cioè il risultato dell’operazione ha lo stesso nome dell’operatore.

Disgraziatamente, l’operatore potenza non ha un simbolo proprio, come invece hanno tutti gli altri operatori, e lo si riconosce solo per come sono disegnati gli operandi, cioè per la loro particolare dimensione e disposizione.

Che cosa fa la potenza? Una definizione che può andare bene quando gli operandi sono interi è che questo operatore prende tanti operandi sinistri (basi) quanti ne dice l’operando destro (esponente) e poi li moltiplica fra loro. Se ci pensi bene, fa una cosa simile a quello che faceva la moltiplicazione al livello più basso: infatti la moltiplicazione è un operatore che prende tante volte il suo operando sinistro quante ne dice l’operando destro e poi li somma fra loro. La potenza è un prodotto ripetuto di operandi (fattori) tutti uguali, come la moltiplicazione è una somma ripetuta di operandi (addendi) tutti uguali.

In pratica: per calcolare una potenza, moltiplica fra loro tante basi quante ne dice l’esponente.

Scrivere 4³ è una scorciatoia per scrivere 4·4·4, così come 4·3 era una scorciatoia per scrivere 4 + 4 + 4. Vediamo alcuni esempi:

2⁶ = 2·2·2·2·2·2 = 64	5³ = 5·5·5 = 125	7³ = 7·7·7 = 343
3² = 3·3 = 9	5² = 5·5 = 25	8² = 8·8 = 64

In pratica: quando calcoli una potenza, a meno che non ti sia richiesto, non devi scrivere le moltiplicazioni ripetute, ma solo il risultato.

Fai attenzione: la potenza di esponente 2 è universalmente chiamata “quadrato”. Questo dipende dal fatto che la formula per calcolare l'area di un quadrato è Area=lato². La potenza di esponente 3 è universalmente chiamata “cubo”. Questo dipende dal fatto che la formula per calcolare il volume di un cubo è Volume= lato³. Le potenze di esponente diverso da 2 o 3 non hanno nomi speciali, perché le figure con più di tre dimensioni non hanno nomi speciali.

Come abbiamo già detto nel capitolo sugli operatori, potenza e radice sono gli operatori di più alto livello fra quelli che studiamo alle medie. Questo vuol dire che, in una espressione, questi due operatori andrebbero risolti prima di tutti gli altri. Inoltre, se compaiono di fila, si dovrebbero risolvere tutti assieme, nell’ordine in cui sono scritti. Molto spesso, però, le operazioni che coinvolgono le potenze e le radici si possono risolvere “in blocco”, usando le proprietà di questi operatori.

Fai molta attenzione: le proprietà delle potenze e delle radici semplificano enormemente i calcoli, sia a mente, sia scritti. Per questo motivo, l’applicazione delle proprietà della potenza e della radice ha la priorità sulle normali regole di precedenza delle espressioni, cioè per prima cosa si applicano le regole delle potenze e delle radici e solo dopo, quando non ce ne sono più, si applicano le regole delle espressioni!

Proprietà dell’operatore potenza

Se ti chiedessi di dirmi se 8⁹ è uguale 9⁸, cosa faresti? La cosa più ovvia che ti può venire in mente è di calcolare il risultato delle due potenze, per vedere se sono uguali. Se ci provi, però, vedrai che questo è molto difficile da fare in pratica, perché una potenza cresce molto, molto, molto in fretta al crescere degli operandi, in particolare al crescere dell’esponente. Per esempio 8² = 64, ma, aumentando l’esponente anche solo di 3, si vede che 8⁵ = 32768!

In pratica: a meno che non sia assolutamente necessario o che sia un conto facile, non si calcola il risultato di una potenza.

Tornando alla mia domanda: anche se 8 e 9 sono numeri piccolissimi, il risultato di 8⁹ è 134217728, cioè un numero enorme, e anche il risultato di 9⁸, che è 43046721, non scherza. Calcolare a mano questi numeri è un lavoro lungo e noioso, però si può ragionare in un altro modo e sfruttare le proprietà dei numeri (non dell’operatore), senza eseguire i calcoli. Se ci pensi, 8⁹ significa moltiplicare 9 fattori 8 fra loro: siccome 8 è un numero pari, il risultato di quella moltiplicazione sarà certamente un numero pari, visto che tutti i fattori sono pari. 9⁸, invece, significa moltiplicare 8 fattori 9 fra loro: siccome 9 è un numero dispari, il risultato sarà certamente un numero dispari, visto che i fattori sono tutti dispari. Quale conseguenza ne puoi trarre? Puoi dire che i due risultati, anche senza calcolare quali numeri siano, di sicuro non potranno essere uguali, perché uno sarà un numero pari, mentre l’altro sarà un numero dispari. Anzi possiamo dire di più: per lo stesso motivo, nessuna potenza di una base pari potrà mai avere lo stesso risultato di una potenza di una base dispari, qualunque siano gli esponenti delle due potenze! Osserva ora i seguenti esempi…

Proviamo a commutare gli operandi di 4³… otteniamo 3⁴. Ma 4³ = 64 e 3⁴ = 81. Perciò 4³ ≠ 3⁴ e quindi la potenza non è commutativa!
In questo e nel prossimo esempio usiamo il simbolo “^” per l’operatore potenza, altrimenti non si capisce bene come si deve associare, per via di come viene il disegno. Consideriamo 2^2^3. Proviamo ad associare la prima operazione, sostituendola col suo risultato… viene (2^2)^3 = 4^3 che fa 64. Ora proviamo invece ad associare la seconda operazione potenza, sostituendola col suo risultato… viene 2^(2^3) = 2^8 = 256. Siccome (2^2)^3 ≠ 2^(2^3), la potenza non è associativa.
Consideriamo 2^9 = 512. Proviamo a dissociare il 9 come risultato della potenza 3^2. Allora… 2^9 è uguale a 2^3^2? Abbiamo visto sopra che 2^3^2 = 64! Perciò si conclude che 2^9 ≠ 2^3^2 e quindi che la potenza non è dissociativa.

In pratica: contrariamente a nonna addizione e mamma moltiplicazione, potenza non è un operatore commutativo e non eredita dai suoi antenati nemmeno le proprietà associativa e dissociativa.

Prodotto / rapporto di potenze con esponenti uguali

Se ricordi bene il capitolo sulle proprietà degli operatori, c’è una sola proprietà che l’operatore potenza eredita dalla moltiplicazione: possiede la proprietà distributiva a destra rispetto alla moltiplicazione ed alla divisione. Di solito, però, non ci si riferisce alla proprietà distributiva a destra col suo nome, ma come alla “regola del prodotto di potenze con lo stesso esponente” o alla “regola del rapporto di potenze con lo stesso esponente”.

Facciamo due esempi della proprietà distributiva a destra rispetto alla moltiplicazione ed alla divisione.

(3·5)² = 3²·5² infatti 225 = 9·25

(10:5)² = 10²:5² infatti 4 = 100:25

Però, operando in questo modo, in realtà complico un calcolo più facile. Quindi, soprattutto nelle espressioni, questa proprietà si usa all’inverso, per trasformare un prodotto (rapporto) di varie potenze con lo stesso esponente in un’unica potenza di un prodotto (rapporto). Ad esempio:

10²·5² = 50² perché è più facile fare 50² che calcolare 10² e 5² e poi fare il prodotto!

10²:5² = 2² perché è più facile fare 2² che calcolare 10² e 5² e poi fare il rapporto!

In pratica: un prodotto di potenze tutte con lo stesso esponente è uguale ad una potenza che come base ha il prodotto delle basi delle potenze iniziali e come esponente ha lo stesso esponente che avevano le potenze iniziali.

Questi sono alcuni esempi:

3²·4²·5² = (3·4·5)² = 60²

2³·3³·4³ = (2·3·4)³ = 24³

In pratica: un rapporto di potenze tutte con lo stesso esponente è uguale ad una potenza che come base ha il rapporto delle basi delle potenze iniziali e come esponente ha lo stesso esponente che avevano le potenze iniziali.

Questi sono alcuni esempi:

24²:4²:2² = (24:4:2)² = 3²

10⁰³:10³:2³ = (10⁰:10:2)³ = 5³

Prodotto / rapporto di potenze con basi uguali

Immagina adesso di dover calcolare il risultato di 3⁴·3². Seguendo le regole delle espressioni, dovresti calcolare prima le due potenze e poi fare la moltiplicazione: 81·9=729. Però se fai mente locale e ti ricordi che 3⁴=3·3·3·3 e che 3²=3·3, allora 3⁴·3²=3·3·3·3·3·3, cioè, per come è definita la potenza, 3⁴·3²=3⁶

In pratica: un prodotto di potenze tutte con la stessa base è uguale ad una potenza con la stessa base di quelle di partenza, che ha come esponente la somma degli esponenti delle potenze iniziali.

Per esempio:

7⁵·7²·7⁸ = 7^(5+2+8) = 7¹⁵

5²·5⁹·5³ = 5^(2+9+3) = 5¹⁴

Immagina adesso di dover calcolare il risultato di 3⁵:3². Seguendo le regole delle espressioni, dovresti calcolare prima le due potenze e poi fare il rapporto: 243:9 = 27. Però se ci pensi e ti ricordi che 3⁵=3·3·3·3·3 e che 3²=3·3, allora 3⁵:3² = 3·3·3·3·3:(3·3). Ma per la proprietà associativa della moltiplicazione, 3·3·3·3·3 si può anche scrivere 3·3·3·(3·3). Allora 3⁵:3²=3·3·3·(3·3):(3·3)=3·3·3, perché se prima moltiplico per (3·3) e poi divido ancora per (3·3), mi ritorna quello che c’era prima, cioè 3·3·3! Quindi, per come è definita la potenza, 3⁵:3²=3³

In pratica: un rapporto di potenze tutte con la stessa base è uguale ad una potenza con la stessa base di quelle di partenza, che ha come esponente la differenza degli esponenti delle potenze iniziali.

Per esempio:

8¹³ : 8⁶: 8³ = 8^(13–6–3) = 8⁴

3¹⁷ : 3⁵ : 3¹⁰ = 3^{(17–5–10)} = 3²

Un trucco per ricordarti meglio: il prodotto (rapporto) di potenze può avere regole speciali per la soluzione. Se le basi erano uguali, il risultato è ancora una potenza con la stessa base; se gli esponenti erano uguali, il risultato è ancora una potenza con lo stesso esponente. Ricorda, però, che se le due potenze iniziali non avevano uguali né le basi, né gli esponenti, non si può applicare nessuna regola particolare e si usano le normali regole delle espressioni.

Potenza di potenza

Immagina adesso di dover calcolare il risultato di (3⁴)². Seguendo le regole delle espressioni, dovresti calcolare prima la potenza 3⁴ e poi elevare il risultato ottenuto alla seconda, così: (3⁴)²= 81² = 6561. Però se fai mente locale e ti ricordi che 3⁴=3·3·3·3, e che elevare alla seconda significa moltiplicare due fattori 3⁴ fra loro, si ha:

(3⁴)²=(3·3·3·3)²=(3·3·3·3)·(3·3·3·3) per definizione di potenza. Tuttavia, per la proprietà associativa della moltiplicazione, (3·3·3·3)·(3·3·3·3) = 3·3·3·3·3·3·3·3. Allora, ancora per come è definita la potenza, (3⁴)² = 3⁸.

In pratica: il risultato di una potenza di una potenza è ancora una potenza che ha la stessa base di quella di partenza e che ha come esponente il prodotto dei due esponenti di partenza.

Fai attenzione: le proprietà delle potenze permettono di eseguire un prodotto od un rapporto di potenze in un unico passaggio e quindi vanno a sostituire le regole delle espressioni, che invece richiedono di risolvere in passaggi diversi gli operatori di livello diverso! Ecco perché le proprietà delle potenze rendono molto più facili i calcoli: in pratica permettono di sostituire due passaggi di calcoli con operazioni difficili (potenze, moltiplicazioni, divisioni), con un solo passaggio di calcoli con operazioni semplici (addizioni, sottrazioni).

In pratica: quando applichi le proprietà delle potenze, basta che sostituisci alle potenze iniziali la potenza determinata con le proprietà, non serve mostrare i passaggi, a meno che questo non sia utile per altri motivi.

Fai molta attenzione: succede tutti gli anni che qualcuno, pensando di essere furbo e risparmiarsi così di imparare le proprietà dell’operatore potenza, cominci ad utilizzare la calcolatrice ed a risolvere tutte le potenze facendo le moltiplicazioni ripetute (procedura che, da ora in avanti, chiameremo “bovina”, perché i buoi fanno i lavori di forza bruta, senza usare la testa, e solo ad una mucca, notoriamente poco intelligente, potrebbe venire in mente di fare così, al posto di usare le proprietà). Il risultato è, ovviamente, corretto, perché il “furbo” non fa altro che seguire le normali regole delle espressioni, quindi tutto gli torna per forza. Ci sono, però, due grossi problemi dietro l’orizzonte, che ancora non può vedere, ma di cui si accorge quando comincia a prendere brutti voti e, soprattutto, a non capirci più niente.

Il primo problema è che nelle verifiche i Prof vogliono vedere l’applicazione delle proprietà e considerano errore la procedura bovina, tranne nei casi in cui sia la sola procedura applicabile.
Il secondo problema, di gran lunga peggiore del primo, è che in terza si fa il calcolo con le lettere, non con i numeri, e la procedura bovina non è utilizzabile con le lettere, perché la calcolatrice lavora solo con i numeri: usare le proprietà sarà l’unico modo di andare avanti!!

Pensaci bene: se la procedura bovina fosse un modo furbo ed intelligente di lavorare, non credi che la userei anche io? Se ti dico di fare diversamente ed anche io faccio diversamente, pensi che sia perché sono meno intelligente o furbo di te? No, lo dico perché lavorare in un certo modo è necessario per quello che verrà dopo e perché, anche se all’inizio non ti sembra, è anche molto più facile! Però è necessario che ti fidi che non ti sto insegnando cose inutili solo per farti un dispetto!

Lo zero e l’uno nelle potenze

Siccome la potenza è definita come una moltiplicazione ripetuta, potresti pensare che lo zero sia l’elemento assorbente e l’uno l’elemento neutro anche per la potenza, visto che sono elementi speciali per la moltiplicazione. Però faresti un grave errore, perché la potenza non è un operatore commutativo e, come hai già visto, gli operatori non commutativi non hanno nessun tipo di elemento speciale. Vediamo però che questi due numeri hanno comunque delle particolarità e bisogna stare attenti quando compaiono come operandi di una potenza.

0 è la base di una potenza: è un caso semplice. Posso moltiplicare fra loro quanti 0 voglio, ma per la legge di annullamento del prodotto, il risultato sarà sempre 0.

In pratica: il risultato di una potenza con base 0 è sempre 0, qualunque sia l’esponente, tranne l’unico caso in cui anche l’esponente è 0 (cioè tranne il caso 0⁰).

0 è l’esponente di una potenza: è un caso molto importante, su cui tanti sbagliano per molto tempo. È impossibile capire cosa significa elevare alla 0 facendo riferimento alla definizione della potenza, perché non è chiaro cosa dovrebbe significare prendere 0 basi e moltiplicarle fra loro.

Fai estrema attenzione: NON FICCARTI ASSOLUTAMENTE NELLA TESTA L’IDEA CHE SE PRENDI ZERO BASI ALLORA VIENE ZERO! NON È VERO!!!!!

Immagina di voler calcolare il risultato di questa espressione 3²:3². Quanto farà? Siccome divido il numero 3² (che fa 9) per sé stesso, il risultato è di sicuro 1, cioè 3²:3²=1. Però, se applico la proprietà del rapporto di potenze con lo stesso esponente, posso scrivere anche che 3²:3²=3⁰. Siccome 3²:3² è uguale sia a 3⁰ che ad 1, 3⁰ ed 1 devono essere uguali fra di loro, cioè deve essere 3⁰ = 1. Osserva che in questo ragionamento non si usa mai da nessuna parte il fatto che la base sia 3, il tutto funziona ugualmente per qualsiasi base. Quindi qualunque sia la base (tranne il caso in cui è 0), elevando ad esponente 0 il risultato sarà sempre 1.

In pratica: il risultato di una potenza con esponente 0 è sempre 1, QUALUNQUE sia la base, tranne l’unico caso in cui anche la base è 0 (cioè tranne il caso 0⁰).

Stai molto attento: “qualunque sia la base” vuol dire proprio qualunque base (un numero intero, con la virgola, positivo, negativo, una frazione, una lettera, persino un’intera espressione; qualunque cosa tranne zero, ed il risultato sarà 1).

0 è sia la base, sia l’esponente di una potenza: la forma 0⁰si può scrivere, applicando la proprietà del rapporto fra potenze con lo stesso esponente, come il risultato di 0²:0² (infatti 0²:0² = 0^2–2 = 0⁰). Ma siccome 0² = 0, allora 0⁰ = 0²:0²=0:0, che come sai già è una forma indeterminata.

In un modo meno corretto, ma più facile da ricordare, puoi pensarla così: la base zero vorrebbe far venire il risultato 0, mentre l’esponente 0 vorrebbe far venire il risultato 1 e nessuno dei due riesce a vincere sull’altro e a far venire un risultato preciso.

In pratica: 0⁰ è una forma indeterminata, cioè forse potrebbe essere un numero, ma comunque non si può stabilire quale!

Ti sembrerà strano, ma potrebbe anche essere un numero diverso da zero o uno; può essere proprio qualsiasi numero o non essere un numero per niente! Quindi: se ti capita di scrivere una cosa come 0⁰, vuol dire che hai fatto un errore di calcolo! Torna indietro e trovalo. Se non lo trovi, cercalo di nuovo. Se ancora non lo trovi, cancella quella cosa abominevole dal foglio, sarà sempre meglio che consegnarlo così!!

1 è la base di una potenza: non crea nessun problema. Posso moltiplicare fra loro quanti 1 voglio e verrà sempre 1, visto che 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione.

In pratica: il risultato di una potenza con base 1 è sempre 1, qualunque sia l’esponente.

1 è l’esponente di una potenza: non crea nessun problema. Immagina di voler calcolare il risultato di questa espressione 3³:3². Usando la regola del rapporto di potenze con la base uguale, verrebbe 3³:3²=3¹. Però, se riscriviamo per esteso 3³:3²=3·3·3:(3·3), che, per la proprietà associativa della moltiplicazione, si può scrivere anche 3·(3·3):(3·3). Cioè prendo il 3 e lo moltiplico per la quantità (3·3); poi divido il risultato ottenuto ancora per la quantità (3·3). Siccome la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, il risultato è di nuovo il numero di partenza. Quindi, siccome 3³:3²=3¹ ma 3³:3² è anche uguale a 3, allora 3¹ = 3. In questo ragionamento non si usa mai da nessuna parte il fatto che la base sia 3, il tutto funziona ugualmente per qualsiasi base.

In pratica: il risultato di una potenza con esponente 1 è sempre uguale alla base stessa, QUALUNQUE essa sia.

Le potenze nelle espressioni

Come hai già visto nel capitolo sugli operatori, la potenza è un operatore di livello superiore alla moltiplicazione / divisione (e di conseguenza anche ad addizione / sottrazione). Questo significa che in un’espressione le potenze si dovrebbero risolvere prima degli altri operatori. Però abbiamo visto che le potenze hanno alcune proprietà che consentono di fare più operazioni assieme, quindi è importante, quando in un’espressione compaiono delle potenze, guardare subito se c’è qualche particolarità. In pratica: dovresti seguire queste regole:

In qualsiasi momento compaia un esponente zero, sostituisci il risultato 1 a tutta la base di quella potenza (anche se la base è una lunga espressione, non serve procedere nel calcolo, tanto, arrivati a risolvere la potenza, farebbe comunque 1). Ad esempio:

3 + 5·[12·4 + 1 – 7⁵:7³ + (8·2 – 3·4)]⁰ + 6·3 – 1

Vedendo che ci sono delle potenze, si va a vedere se c’è un esponente 0. In questo caso, vedi che l’intera parentesi quadra è la base di una potenza di esponente 0. Dire che una parentesi è la base di una potenza, significa, per le regole delle espressioni, che prima dovresti risolvere tutto quello che c’è nella parentesi e poi elevare il risultato ottenuto alla 0. Se ci pensi però, per la proprietà della potenza ad esponente 0, qualunque cosa ti venisse fuori da quel calcolo non cambierebbe il fatto che poi l’elevazione alla zero ti darebbe 1 (a dire proprio la verità, ci sarebbe una questioncina, perché il risultato della parentesi potrebbe anche essere 0 e, in quel caso, verrebbe fuori una forma indeterminata: non metterò mai un caso così, perché mi interessa vederti applicare la proprietà dell’esponente 0). Il successivo passaggio della espressione sarà:

3 + 5·1 + 6·3 – 1

In effetti, in questo caso si poteva anche omettere del tutto 1, perché è moltiplicato col 5 ed 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione. Ovviamente sarebbe stato possibile, come al solito, svolgere anche le altre operazioni sottolineate, ma qui ho fatto vedere solo quello che mi interessava.

Fai molta attenzione: gli esponenti 0 possono comparire in qualsiasi passaggio di un’espressione, anche se non erano presenti all’inizio, perché possono essere il risultato di un calcolo del passaggio precedente! In ogni caso, appena ne compare uno, usa la regola delle potenze con esponente 0 e sostituisci tutta la base di quella potenza col risultato 1.

Guarda se ci sono regole delle potenze applicabili (prodotti / rapporti di potenze con la stessa base o con lo stesso esponente, potenze di potenze). Ad esempio:

3 + 5·[12·4 + 1 – 7⁵:7³ + (8·2 – 3·4)] + 6·3 – 1

Vedendo che ci sono delle potenze, per prima cosa devi controllare se ci sono esponenti 0. Visto che non ci sono, devi controllare se si possono applicare altre regole delle potenze. In questo caso, si può applicare la regola del rapporto di potenze con la stessa base e quindi il successivo passaggio dell’espressione sarà:

3 + 5·[12·4 + 1 – 7² + (8·2 – 3·4)] + 6·3 – 1

(ovviamente sarebbe stato possibile, come al solito, svolgere anche le altre operazioni sottolineate, ma qui ho fatto vedere solo quello che mi interessava)

Per i più bravi: se ci sono prodotti o rapporti in cui un operando è una potenza, ti conviene aspettare a risolvere la potenza, perché alla fine dei conti l’altro operando potrebbe venire anche lui una potenza con la stessa base od esponente dell’altra e quindi potresti applicare una regola. Vediamo alcuni esempi:

24³ : [12·4 + 5·2 – (7·5 + 15)]³ + 6·3 – 1

In questo caso, compare la regola del rapporto fra potenze con lo stesso esponente perché c’è il rapporto fra 24³ e una parentesi alla terza: il fatto è che non puoi applicare subito la regola, perché prima devi calcolare la parentesi. Comunque, non ti conviene calcolare il 24³ da solo e poi il risultato della parentesi alla terza da solo. Quindi è meglio procedere così:

24³ : [48 + 10 – (35 + 15)]³ + 6·3 – 1 aspetta… poi

24³ : [48 + 10 – 50]³ + 6·3 – 1 aspetta… poi

24³ : 8³ + 6·3 – 1 adesso puoi applicare una regola!

3³ + 6·3 – 1

Per quelli ancora più bravi: a dire la verità, volendo, potresti applicare subito la proprietà, introducendo delle parentesi, in questo modo:

24³ : [12·4 + 5·2 – (7·5 + 15)]³= {24:[12·4 + 5·2 – (7·5 + 15)]}³

13³ : [(12·4 + 5·2):2 – 7·3 + 5]²

In questo caso, compare un rapporto fra due potenze di esponenti diversi. Non ti conviene calcolare subito 13³, perché il risultato della parentesi potrebbe (forse) venire anche lui 13 e quindi dopo potresti applicare la regola del rapporto di potenze con la stessa base! A dire il vero, non è un caso molto probabile che, fra gli infiniti risultati possibili, venga proprio quello che ti serve per applicare la regola. Però, visto che aspettare non ti dà nessuno svantaggio, mentre potrebbe darti un grosso vantaggio, è meglio farlo no? Quindi è meglio procedere così:

13³ : [(48 + 10):2 – 21 + 5]² aspetta… poi

13³ : [58:2 – 21 + 5]² aspetta… poi

13³ : [29 – 21 + 5]² aspetta… poi

13³ : 13² adesso puoi applicare una regola!

7³ : [12·4 + 5·2 – 9] + 17 – 5

Attenzione: questa è roba per un super genio. In questo caso non sembra che si possa applicare qualche regola, né subito, né in futuro, perché l’unica potenza che c’è non ha l’esponente 0 e tutte le altre regole richiedono almeno due esponenti per operare. Però quella divisione dopo la potenza 7³… chissà, meglio aspettare e stare a vedere, tanto non può andare da nessuna parte! Il primo passaggio è:

7³ : [48 + 10 – 9] + 6·3 – 1 aspetta… poi

7³ : 49 + 6·3 – 1 aspetta… poi

Qui sta la genialata: se ci pensi 49 = 7²! Allora puoi scrivere:

7³ : 7² + 6·3 – 1 adesso puoi applicare una regola!

7 + 6·3 – 1

Questa genialata in effetti è l’unico esempio di artificio di una certa utilità che potresti pensare di utilizzare alle Medie.

In tutti gli altri casi, cioè se le potenze sono sommate o sottratte fra loro, oppure sono moltiplicate o divise, ma non hanno né basi né esponenti uguali, segui le normali precedenze secondo le regole delle espressioni.

Quando si lavora su espressioni con le potenze, è meglio tenere in considerazione anche alcune indicazioni pratiche che ti permettono di capire se per caso sei finito su una strada sbagliata. In particolare:

In pratica: se hai svolto in modo corretto un calcolo in cui ci sono delle potenze e ti vengono fuori numeri molto grandi, vuol dire che non hai applicato bene (o non hai applicato per niente!) una o più proprietà delle potenze. La soluzione è tornare indietro ed applicare correttamente le proprietà, assolutamente non quella di prendere la calcolatrice per non dover fare quei calcoli a mano: quei calcoli non avrebbero dovuto nemmeno venirti fuori.

In pratica: se in un’espressione compare una potenza che, risolta di per sé, darebbe un risultato molto grande (di solito, anche se non sempre, un numero che supera il 225 è troppo grande per gli esercizi che facciamo noi), vuol dire che probabilmente c’è una proprietà da applicare.

Fai attenzione: un errore comune, che tanti studenti ancora fanno in seconda e anche in terza, è quello di calcolare la potenza moltiplicando la base per l’esponente. Pensaci bene: se avessi voluto farti moltiplicare il 4 e il 3, ti avrei scritto di fare 4·3, non mi sarei inventato di scrivere 4³, visto che c’era già l’operatore di moltiplicazione per fare quel lavoro lì!

Radice

Come forse avrai capito dal fatto che nel capitolo degli operatori la potenza e la radice compaiono assieme al terzo livello, la radice è un operatore inverso della potenza. Per i più bravi: la radice è uno dei due operatori inversi della potenza. Una radice si scrive così:

In pratica: l’operando sinistro della radice si chiama radicando (64 nel nostro esempio), mentre quello destro si chiama indice (3 nel nostro esempio) e si scrive più piccolo, in alto a sinistra sopra il segno di radice. Il risultato di un’operazione di radice si chiama radice (4 nell’esempio), cioè il risultato dell’operazione ha lo stesso nome dell’operatore. L’intera operazione si chiama anche radicale.

In pratica: una operazione di radice serve a trovare quel numero che, se fosse usato come base di una potenza di esponente uguale all'indice della radice, darebbe come risultato il radicando.

Nell'esempio il risultato è 4, perché 4 è quel numero che elevato alla 3 fa 64.

Disgraziatamente, anche l’operatore radice, pur avendo un simbolo proprio, ha gli operandi disegnati in modo particolare. L’indice ha una particolare dimensione e disposizione: infatti, è scritto più piccolo (come l’esponente della potenza) e, pur essendo l’operando destro, è scritto a sinistra!

Fai attenzione: la radice di indice 2 è universalmente chiamata “radice quadrata”, perché è l'inverso del quadrato (la potenza di esponente 2) ed inoltre di norma l'indice 2 non viene scritto, ma sottointeso. La radice di indice 3 è universalmente chiamata “radice cubica” perché è l'inverso del cubo (la potenza di esponente 3). La radici di indice diverso da 2 o 3 non hanno nomi speciali, perché non ce l'hanno le potenze di esponente corrispondente.

Per trovare la radice quadrata di un numero qualsiasi c’è una procedura “in colonna”, esattamente come per la divisione, la moltiplicazione e le altre operazioni. Però questa procedura è abbastanza complicata e non ha senso studiarla alle medie (mi accontento che tu sappia che esiste).

In pratica: per trovare la radice di un numero:

Quando il numero è piccolo, intero e l’indice della radice non è troppo grande (in pratica non supera il 3) te lo dovresti ricordare, oppure puoi andare per tentativi, provando a fare la potenza di varie basi finché non viene il radicando.
Cerchi il valore della radice sulle tavole in fondo al libro, che danno il risultato per tutti i numeri interi fino al 1000: usando le proprietà della radice le tavole si possono anche usare per ottenere le radici di alcuni numeri interi sopra il 1000 e fino al 1000000 e anche per i numeri con la virgola.
Usi la calcolatrice, che internamente utilizza la procedura in colonna che noi non facciamo. L'uso della calcolatrice è permesso per il calcolo della radice nelle verifiche, ma in generale negli esercizi a casa compaiono sempre le stesse e sarebbe molto meglio se te le ricordassi.

Vediamo alcuni esempi:

	perché 2⁶ = 64		perché 5³ = 125
	perché 3² = 9		perché 7³ = 343
	perché 5² = 25		perché 8² = 64

Fai molta attenzione: siccome la radice è l’operazione inversa della potenza e la potenza si fa per moltiplicazioni ripetute, c’è sempre qualcuno a cui viene in mente di calcolare la radice per “divisioni ripetute”, perché la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Anche se per le radici di indice 2 questa cosa, fra mille difficoltà, può funzionare, per tutti gli altri indici è quasi impossibile lavorare così. Comunque, in ogni caso, è un’idea davvero schifosa, per il semplice fatto che, mentre l’operatore potenza è definito come una moltiplicazione ripetuta, la radice nonè un operatore definito come una divisione ripetuta! È un po’ come cercare di eseguire una divisione per 2 facendo “sottrazioni ripetute”, invece di usare la procedura in colonna della divisione! Ti sembrerà strano, ma c’è qualcuno che per dividere in due fa proprio così! Per fare 100:2, un’operazione facilissima in colonna, cerca per tentativi un numero che sottratto a 100 dia il numero stesso. In pratica, si può trovare il risultato in un tempo ragionevole solo se lo si conosce già! Non starò qui a raccontarti quante difficoltà questi alunni incontrano nei problemi, quando si dice che una quantità è la metà di un’altra e loro cercano di rappresentarsi la cosa con delle sottrazioni: penso che lo puoi immaginare da te.

In pratica: per trovare una radice di un numero, usa uno dei metodi validi che ti ho elencato; non provare mai, in nessun caso, per divisioni ripetute!