I problemi

Per cominciare, è meglio chiarire lo scopo di questo capitolo degli appunti: qui non imparerai a risolvere tutti i problemi in generale, per il semplice fatto che se ci fosse una tecnica precisa per risolvere qualsiasi problema, non sarebbero più problemi!

Ti darò ora alcune linee guida sempre valide per orientarti ed anche un nuovo strumento che potrà esserti utile per semplificarti la vita: la rappresentazione grafica dei problemi.

Come si affrontano i problemi (linee generali)

Quando ti trovi di fronte al testo di un problema, a volte puoi avere difficoltà a capire da che parte muoverti. Ora ti darò alcune indicazioni, ma considera che sono solo dei suggerimenti che possono qualche volta aiutarti a trarti d’impaccio.

La soluzione esiste! Sembra banale dirlo, ma non lo è. Ci sono problemi importanti della scienza e della tecnologia per i quali non solo non si è trovata, ma si sa per sicuro che non esiste una soluzione esatta e bisogna accontentarsi di una soluzione approssimativa, sufficientemente accurata per gli scopi pratici.

I problemi di matematica o geometria che farai a scuola sono studiati per avere sempre (almeno) una procedura di soluzione esatta.

Devi assolutamente ricordarti il significato delle parole! Spesso incontrerai i termini matematici prodotto, differenza, rapporto, somma, quoziente, superare, differire, doppio, triplo e tanti altri.

Se non sai cosa significano, non potrai neanche iniziare a risolvere il problema, per il semplice fatto che non avrai nemmeno capito di che cosa parla!

Devi capire cos’è una quantità e che ruolo ha in un problema. Per esempio, contrariamente a quello che di solito si pensa alla tua età, i numeri non sono MAI le quantità importanti di un problema. Sono necessari, certo, ma le quantità sono le cose di cui si parla, non il valore numerico che hanno. La quantità è il significato del numero, è il senso che quel numero ha nel problema.

Immagina di trovare a terra un pezzo di biglietto strappato, che dice: “la combinazione dell’armadietto nell’ufficio del Preside che contiene il tesoro è….” Con questo biglietto tu non sai la combinazione, però sai che nell’armadietto c’è un tesoro e potresti anche pensare ad un altro modo (legale!) di aprire l’armadietto o di ottenere il tesoro. Ma cosa avresti fatto, invece, se avessi trovato solo questa parte del biglietto? …. “3357398123”. Senza sapere a che cosa si riferisce quel numero, probabilmente avresti buttato il biglietto senza rimorso, magari pensando che fosse il numero di cellulare del Preside. Pensaci un po’: dovendo scegliere, quale delle due informazioni avresti preferito avere? Il numero, o il significato del numero? In questo esempio il numero è “3357398123”, la quantità invece è “combinazione dell’armadietto”: il testo afferma che la quantità “combinazione dell’armadietto” vale “3357398123” nel caso dell’armadietto del Preside.

PS: a scanso di equivoci, nell’ufficio del Preside non c’è un armadietto con dentro un tesoro. A dirla tutta, non c’è nemmeno un armadietto a combinazione. Non metterti a pianificare cose strane :-).

Devi capire quali sono le quantità importanti di cui parla il problema. Sono le quantità che dovrai calcolare od utilizzare per arrivare alla soluzione. Molto spesso nei testi in italiano del problema ci sono tante informazioni che non servono per la soluzione. Esempio: Marco ha acquistato una sfera di legno del Madagascar di 1,55 decimetri cubi di volume, pagandola 23 euro. Se la sfera pesa 2 kg, qual è la densità della sfera?

Quali sono le quantità importanti di cui si parla?

Il fatto che Marco abbia comprato lo sfera, invece di Luigi, o di Giorgio, non ha nessuna importanza. Nemmeno che il legno sia del Madagascar. Quello che conta, per il problema, sono il volume, il peso e la densità della sfera: queste sono le quantità importanti. Osserva che sono tutte quantità misurabili. Tutte le altre informazioni possono essere tralasciate senza nessuna conseguenza, rendendo anzi tutto più semplice!

Un metodo che di solito funziona per capire quali sono le quantità importanti è di cercare la domanda del problema e anche di determinare a quali quantità misurabili si riferiscono i numeri che compaiono nel problema. Spesso non riuscirai ad individuare tutte le quantità importanti con questo sistema e, a volte, alcune quantità stabilite così in effetti non sono importanti per il problema. Però sono buoni indizi. Nel nostro esempio, una quantità importante è sicuramente la densità della sfera. È facile da capire… è la domanda del problema! Anche il peso della sfera è una quantità importante: me lo suggerisce il fatto che ne viene specificato il valore numerico. Attenzione però: anche del prezzo della sfera è specificato il valore, ma non è una quantità importante per rispondere alla domanda del problema e quindi può anche essere trascurata; di sicuro non sarà usata nella risoluzione. Sta a te imparare a capire quali quantità sono importanti e quali no: è uno degli aspetti che rendono difficili i problemi.

A volte (il più delle volte), è necessario trovare il valore di quantità che il problema non ti fornisce e non ti chiede direttamente. Dovrai decidere tu quali ti servono. In un problema non c’è mai una procedura predeterminata o un ordine prestabilito per svolgerla: come abbiamo già osservato, se non fosse così, non sarebbe un problema, ma una semplice espressione.

Risolvere un problema significa esattamente DETERMINARE una sequenza di operazioni (un’espressione) da svolgere per arrivare alla soluzione, partendo dai dati. Ti sembrerà strano, ma per risolvere un problema, in un certo senso, non è necessario né conoscere, né calcolare, alcun numero.

In alcuni casi può essere utile rappresentare il problema in un altro linguaggio simbolico, che renda più semplice capire la procedura per risolverlo.

Si tratta della rappresentazione grafica del problema. Non sempre rappresentare un problema in forma grafica è utile, ma in alcuni casi lo è moltissimo. Dovrai capire tu quando è il caso di farlo. Nel seguente paragrafo ti fornirò gli strumenti per fare questa operazione.

Rappresentazione grafica di un problema

Come hai già imparato nel capitolo sulle relazioni, quando scrivi i dati di un problema li traduci in una forma simbolica. Il problema può sempre essere risolto utilizzando solo la forma simbolica: questo è lo scopo dell’algebra. L’algebra però richiede una capacità di astrazione sviluppata in anni di esercizio e studio, perciò si inizia a studiarla in terza media.

Come facciamo allora a risolvere problemi complessi fino a quando non avremo quello strumento? Per riuscirci, per ora ci aiuteremo con un’altra rappresentazione dei dati, più concreta della traduzione simbolica, che quindi ci permetterà di fare gli stessi ragionamenti dell’algebra, “vedendoli” su un modello disegnato del problema. Se farai bene questo lavoro, potrai risolvere anche i problemi più difficili ed inoltre comincerai ad abituarti, anche senza saperlo, al tipo di lavoro che poi si farà in terza. Ora chiariamo di cosa si tratta.

Un problema di base, oltre ad essere rappresentato simbolicamente tramite le relazioni tradotte dal testo, può anche essere rappresentato in una forma grafica, cioè con un disegno. Vedremo nei paragrafi specifici come si rappresenta graficamente ogni tipo di problema di base e come ci si ragiona sopra: per ora ti do alcune informazioni generali, ma molto importanti.

La rappresentazione grafica è una rappresentazione dei dati, esattamente come la traduzione simbolica, e serve ad aiutarti a trovare la soluzione del problema.

Di conseguenza, deve rappresentare il problema, NON LA SOLUZIONE! Avendo già la soluzione, non serve più a niente rappresentarla graficamente!

Immagina una donna che va alla Polizia dicendo: “il mio cane è scomparso” (problema). Allora la Polizia le dice: “bene, ci dia una fotografia (rappresentazione grafica) del suo cane per aiutarci a trovarlo” (risolvere il problema). La donna però non ha nessuna fotografia da dare alla polizia. Il giorno dopo il cane torna a casa, la donna gli scatta una fotografia e la porta alla Polizia. Secondo te, ormai che il cane è tornato (il problema è risolto!), che cosa se ne dovrebbe fare la Polizia di quella foto?

In pratica: quando fai una rappresentazione grafica, il disegno non deve mai dipendere da come sarà la soluzione. Non deve nemmeno venirti in mente che il tuo disegno dipenda dalla soluzione: se succede, o non è vero che è così, o stai semplicemente sbagliando tutto!

Per rappresentare graficamente una quantità si usa sempre un segmento, e questo indipendentemente dal tipo di quantità di cui si parla.

Vuol dire che si utilizza un segmento non solo per rappresentare una lunghezza, ma anche per rappresentare angoli, pesi, numeri di figurine, eccetera.

Ogni relazione che hai tradotto in forma simbolica deve avere un corrispondente anche nella rappresentazione grafica.

Vuol dire che tutte le relazioni utili del problema devono comparire in forma grafica da qualche parte del disegno. Vedremo più sotto come si rappresentano graficamente le diverse relazioni che definiscono ogni tipo di problema e, nei paragrafi specifici, come si combinano assieme.

In una rappresentazione grafica non devono mai comparire parti di disegno che non corrispondono a dati presenti anche nella traduzione simbolica.

Se fai una rappresentazione grafica che contiene più informazioni di quelle che ci sono nel testo (o nella rappresentazione simbolica dei dati), vuol dire che hai inventato dei dati! È molto facile che poi non riuscirai a risolvere correttamente il problema, perché in effetti stai facendo un altro problema!

In pratica: il testo del problema, la sua rappresentazione simbolica (le relazioni) e la sua rappresentazione grafica devono contenere le stesse informazioni utili, né di più, né di meno: queste informazioni sono solo rappresentate in modi diversi.

Vediamo ora come si rappresenta graficamente ogni singola relazione che compare nei problemi di base.

Rappresentazione grafica di una assegnazione ad una quantità

La relazione che esprime l’assegnazione del valore ad una quantità (chiamata qui A) è:

A=10 è l’unica forma, in tutti i tipi di problemi.

Questa relazione si rappresenta graficamente scrivendo il valore della quantità conosciuta sopra, o vicino, al segmento che nel disegno la rappresenta.

Se la quantità di cui devi scrivere il valore è composta di più segmenti (perché così dice un’altra relazione nei dati), si evidenzia con una parentesi graffa l’insieme di segmenti che ci interessano, per chiarire meglio a quali parti va associato il valore.

Nota bene: la lunghezza del segmento che rappresenta A è scelta a caso, perché questa è solo una rappresentazione e non c’è ragione di scegliere una lunghezza precisa. In particolare: il segmento non deve essere lungo 10, anche perché non si capisce 10 che cosa... se stiamo parlando di 10 cm ti potrebbe anche saltare in testa, ma se si parla ad esempio di 10 kg, non ha nessun significato speciale il fare il segmento di 10 cm, o di dieci quadratini, o di qualunque altra misura particolare.

Rappresentazione grafica della somma di due quantità

La relazione che esprime la somma fra le due quantità sconosciute del problema (chiamate qui A e B) può comparire in una qualunque delle seguenti forme equivalenti (ottenute una dall’altra con le procedure di inversione, o meglio ancora pensandoci un po’ su)

A+B=10 è la forma in assoluto più comune, in tutti i tipi di problemi.
A=10−B è una forma molto poco comune, ma può sempre capitare!
B=10−A è una forma molto poco comune, ma può sempre capitare!

Questa relazione si può rappresentare graficamente i due modi. Scegli tu quello che preferisci fra questi:

Visto che è una somma delle due quantità, si rappresenta sommando i segmenti che le rappresentano. Si disegna il segmento di una quantità adiacente a quello dell’altra, formando così un segmento unico.

Nota bene: al segmento somma (quello blu) ho assegnato il valore 10 usando la tecnica già vista sopra per le assegnazioni di valore. In particolare: ho usato la graffa perché il segmento da assegnare è a sua volta composto di due segmenti.

Nota bene: Questa rappresentazione è molto aderente al concetto di somma, ma ha il grande svantaggio di duplicare il disegno delle due quantità, che compaiono disegnate sia da sole, che unite nella somma.

Si disegna una parentesi graffa che racchiude i segmenti delle due quantità e ci si scrive vicino il valore della somma.

Nota bene: questo sistema è meno aderente al concetto di somma, ma ha il grande vantaggio di non duplicare nessuna informazione già rappresentata.

Nota bene: in entrambi i casi la lunghezza dei segmenti che rappresentano A e B è scelta a caso, perché questa è solo una rappresentazione e non c’è ragione di scegliere una lunghezza precisa.

Nota bene: in entrambi i casi il valore di B è stato assunto maggiore di quello di A, quindi il segmento di B è più lungo di quello di A. Visto che il testo non specifica quale delle due quantità è la maggiore e non c’è modo di dedurlo dalla relazione stessa, la scelta di quale sia da considerare la maggiore è stata fatta a caso, non importava quale.

Fai molta attenzione: è necessario assumere che una delle due quantità sia maggiore dell’altra, perché se le disegnassi uguali, rappresenterei l’informazione che sono uguali. Io, però, so solo quanto vale la loro somma e nessuno, da nessuna parte, mi dice che le due quantità sono uguali e quindi non me lo posso inventare, altrimenti rappresenterei un altro problema, non questo!

Per esempio, supponiamo di sapere che i valori delle due quantità dell’esempio sono A=3 e B=7: la loro somma è appunto 10. Rappresentandoli uguali, aggiungerei una condizione che non era presente nei dati (precisamente, la relazione A=B) e così facendo obbligherei la soluzione ad essere A=5 e B=5, che è l’unica combinazione possibile con A=B e A+B=10. Questa è la soluzione esatta... di un altro problema (quello con in più la condizione A=B rispetto al mio problema iniziale), ma è del tutto sbagliata per il mio!

Rappresentazione grafica della differenza di due quantità

La relazione che esprime la differenza fra le due quantità sconosciute del problema (chiamate qui A e B) può comparire in una qualunque delle seguenti forme equivalenti (ottenute una dall’altra con le procedure di inversione, o meglio ancora pensandoci un po’ su)

B−A=10 è la forma più comune nel problema con le frazioni di tipo differenza.
B=A+10 è la forma più comune nel problema somma/differenza.
A=B−10 è una forma meno comune, ma può sempre capitare!

Visto che è una differenza delle due quantità, nel disegno è rappresentata dalla differenza fra i segmenti delle due quantità. La differenza fra i due segmenti non è altro che la parte del segmento più lungo che resta se gli tolgo una parte uguale al più corto: allora basta che rappresento la quantità maggiore con un segmento suddiviso in due parti: una uguale a quello della quantità minore (indicato con una x), più un pezzo che rappresenta la differenza fra le due (cioè di quanto la maggiore supera la minore).

Nota bene: al segmento differenza (quello blu) ho assegnato il valore 10 usando la tecnica già vista sopra per le assegnazioni di valore.

Nota bene: la lunghezza dei segmenti che rappresentano A e B è scelta a caso, perché questa è solo una rappresentazione e non c’è ragione di scegliere una lunghezza precisa.

Nota bene: il segmento di B è più lungo di quello di A, perché il valore di B è maggiore di quello di A. In questo caso non me lo sto inventando, ma lo deduco dalla relazione stessa, perché se B − A fa 10, allora B deve essere per forza maggiore di A.

Fai molta attenzione: è necessario assumere che il segmento che rappresenta la differenza (quello blu) sia diverso da quello che rappresenta A (quello segnato con la x). Non importa se lo fai più lungo o più corto, perché non puoi sapere come dovrebbe essere disegnato rispetto alla x (per saperlo, dovresti conoscere la soluzione!); però DEVE ESSERE DIVERSO.

Perché devono essere diversi? Perché se li disegnassi uguali, rappresenterei l’informazione che sono uguali. Io, però, so solo quanto vale la differenza fra B ed A e nessuno, da nessuna parte, mi dice che la loro differenza coincide con la quantità A!

Guarda il disegno qui sopra: se te lo facessi vedere io, senza che tu abbia letto il problema, che cosa penseresti? Penseresti che B è il doppio di A, ma nessuno, da nessuna parte in questo problema, dice che B=2·A (ovviamente, può esistere un altro problema che mi dà questa informazione e allora questo disegno sarebbe corretto per quel problema!).

Per esempio, supponiamo di sapere che i valori delle due quantità dell’esempio sono A=5 e B=15: la loro differenza è appunto 10. Rappresentando il segmento differenza uguale a quello di A, aggiungerei una condizione che non era presente nei dati (precisamente, la relazione B=2·A) e così facendo obbligherei la soluzione ad essere A=10 e B=20, che è l’unica combinazione possibile con B=2·A e B−A=10. Questa è la soluzione esatta... di un altro problema (quello con in più la condizione B=2·A rispetto al mio problema iniziale), ma è del tutto sbagliata per il mio!

Rappresentazione grafica di una quantità che è frazione dell’altra

Siccome l’operatore inverso di una frazione è comunque una frazione, allora la relazione che esprime che una delle due quantità sconosciute del problema è una frazione dell’altra (le due quantità sono chiamate qui A e B) compare in pratica solo nella seguente forma:

A = 3/4 di B, che però dovresti scrivere sempre A = 3/4 · B

Visto che il valore di A è i 3/4 del valore di B, allora il segmento che rappresenta A deve essere lungo i 3/4 di quello che rappresenta B. Per fare questo, per la definizione stessa dell’operatore frazione, basta prendere per B un segmento lungo a caso ed applicarci la frazione 3/4. La parte ottenuta è il segmento che rappresenta A.

Osserva che il segmento che rappresenta l’intero della relazione in frazione (B) è diviso in tante “fette” uguali quante ne dice il denominatore della frazione (perché per applicare l’operatore frazione devo dividere l’intero in tante fette quante ne dice il denominatore). Invece, il segmento che rappresenta la parte della relazione in frazione (A) è diviso in tante “fette” uguali quante ne dice il numeratore della frazione (perché per calcolare la parte con un operatore frazione devo prendere tante fette quante ne dice il numeratore). Osserva inoltre che...

Fai attenzione: anche se è possibile farlo, e anche qui nell’esempio lo abbiamo fatto, in realtà NON TI CONVIENE disegnare un segmento lungo a caso per l’intero, perché dopo, quando devi dividerlo in fette uguali, c’è da diventare matti a fare le divisioni esattamente!

In pratica: scegli un’unità di lunghezza qualsiasi (che chiamiamo “scacchetto”) e poi:

Disegna il segmento che rappresenta la parte con un numero di scacchetti uguale al numeratore della frazione.
Disegna il segmento che rappresenta l’intero con un numero di scacchetti uguale al denominatore della frazione.

Nota bene: la lunghezza dello “scacchetto” è scelta a caso, perché questa è solo una rappresentazione e non c’è ragione di scegliere una lunghezza precisa. In particolare, non corrisponde necessariamente allo scacchetto del quaderno a quadretti, anche se di solito si fa proprio così.

Fai molta attenzione: è necessario che le due quantità siano composte da tutti scacchetti uguali, perché è così che lavora l’operatore frazione. Se non li fai tutti uguali, stai rappresentando un’altra relazione!

I cinque problemi di base

Abbiamo già sottolineato che non ci può essere una procedura valida per risolvere tutti i tipi di problemi. Consideriamo comunque cinque “tipi” di problemi che compaiono spesso alle Medie e che chiamiamo per brevità “problemi di base”, anche se in realtà non hanno nulla d basilare rispetto ad altri: è solo un modo che utilizzo io per riferirmi a questi. È importante conoscere questi problemi di base, perché ognuno dei cinque tipi ha una procedura di soluzione specifica, che è sempre la stessa. Questo significa che se sarai in grado di riconoscere il tipo di problema di base quando compare, potrai applicare la sua procedura automaticamente, senza doverci più stare a pensare: in questo modo ti potrai concentrare su altri aspetti del lavoro. Quando in terza faremo l’algebra, ti accorgerai che in realtà esiste un metodo che permette di risolvere questi cinque tipi di problemi (ed un’infinità di altri) con una sola modalità. Purtroppo ancora non conosci quello strumento, ma d’altra parte è necessario lavorare sui problemi. L’unico modo di procedere, per ora, è di imparare una procedura speciale per ogni tipo di problema! Questo comporta un po’ di fatica e per questo motivo ci si limita a solo cinque tipi: se no dovresti impararti decine e decine di procedure diverse, una per ogni tipo di problema.

I problemi che discutiamo in questo capitolo sono sempre a due quantità e si possono suddividere in due grandi classi:

Problemi in cui si ha una relazione fra le due quantità e una delle due quantità ha un valore assegnato (oppure, si può dire anche che fra le due quantità si hanno due relazioni, di cui una è di assegnazione).

A questa classe appartengono il problema diretto ed il problema inverso. Si tratta dei problemi più facili, perché la relazione di assegnazione è la più semplice di tutte.

I problemi di questa classe si possono sempre risolvere con una sola operazione. Con questo intendo che, partendo dai dati conosciuti, puoi sempre trovare la quantità richiesta con una sola operazione.

Rappresentare graficamente i problemi di questa classe non è per nulla utile, perché si risolvono molto facilmente anche senza nessuna traduzione simbolica. Naturalmente, però, se preferisci averla perché riesci a ragionarci meglio, la puoi sempre fare e nel paragrafo specifico vedremo un esempio.

Problemi in cui si hanno due relazioni fra le due quantità e nessuna delle due quantità ha un valore assegnato.

A questa classe appartengono il problema somma/differenza, il problema con le frazioni di tipo somma ed il problema con le frazioni di tipo differenza. Si tratta di problemi più difficili perché le relazioni che li definiscono sono più complicate della semplice assegnazione di un valore.

I problemi di questa classe non si possono mai risolvere con una sola operazione. Con questo intendo che, partendo dai dati conosciuti, con una sola operazione non puoi mai trovare subito né l’una, né l’altra delle due quantità richieste: invece trovi un’altra quantità ancora, che può anche non avere nessun significato per il problema, ma che serve solo come passaggio intermedio di una procedura di più passaggi.

Un altro modo di dire la stessa cosa, è che per trovare una delle due quantità in un problema di questa classe, non basta una sola operazione, ma bisogna risolvere un’espressione con almeno due operatori.

Rappresentare graficamente i problemi di questa classe ti sarà molto utile, perché ti renderà più chiaro per quale motivo la procedura che li risolve è fatta come è fatta e, quindi, sarà anche più facile capirla e ricordarla.

Problema diretto e Problema inverso

I problemi diretti ed inversi sono i più facili, perché si risolvono con una sola operazione. In effetti sono esattamente quei calcoli che hai sempre utilizzato: tutti i problemi che hai fatto alle Elementari non erano altro che una sequenza di tanti sottoproblemi diretti o inversi.

Nel problema diretto ed in quello inverso si ha una relazione fra due quantità: una di queste due quantità si sa quanto vale e bisogna calcolare l’altra. A seconda di quale delle due è conosciuta, il problema è diretto, oppure inverso. Chiariamo la cosa con degli esempi.

Problema: Marco possiede 12 figurine in più di Andrea. Andrea ha 15 figurine, quante ne ha Marco?

In questo problema si sa come calcolare il numero di figurine di Marco (M) se si conosce il numero di figurine di Andrea (A). Inoltre si sa proprio il numero di figurine di Andrea! Ma allora, il gioco è fatto, basta fare direttamente il conto indicato nel testo del problema! Vediamo:

M = A + 12

A = 15

M = ?

Soluzione: M = 15 + 12 = 27

Fine. Come avrai forse capito, questo è un problema diretto.

Per i più bravi: nota che la relazione M = A + 12 è in forma utile per trovare M, che è proprio la quantità da trovare...

Problema: Marco possiede 12 figurine in più di Andrea. Marco ha 14 figurine, quante ne ha Andrea?

In questo problema si sa, esattamente come prima, come calcolare il numero di figurine di Marco (M) se si conosce il numero di figurine di Andrea (A), però si sa già quante figurine ha Marco e bisogna ritrovare quante figurine ha Andrea. Allora si deve fare il ragionamento inverso rispetto a quello che mi dice il testo del problema. Vediamo:

M = A + 12 nota che la relazione è identica a quella del problema precedente...

M = 14 ma ora conosco M e non A...

Soluzione: A = 14 − 12 = 2 perché se Marco ha 12 figurine in più di Andrea, Andrea ne ha 12 in meno di Marco! Nota che la sottrazione è l’inverso dell’addizione.

Fine. Come avrai forse capito, questo è un problema inverso.

Per i più bravi: nota che la relazione M = A + 12 è in forma utile per trovare M, ma M è già noto. Se quella relazione fosse in forma utile per trovare A...

Come vedi non c’è niente di nuovo rispetto a quello che hai sempre fatto. Nel testo di entrambi questi problemi si parlava di una addizione. Nel primo hai fatto veramente una somma per trovare il risultato richiesto, mentre nel secondo hai dovuto fare una differenza, cioè l’operazione inversa di quella specificata nel testo. Questo è dipeso da quale delle due quantità era quella conosciuta (e quindi quale era quella da trovare).

Vediamo ora un altro esempio, dove si parla di una moltiplicazione.

Problema: Marco possiede il doppio delle figurine di Andrea. Andrea ha 15 figurine, quante ne ha Marco?

M = 2 · A

A = 15

M = ?

Soluzione: M = 2 · 15 = 30

Fine. Come avrai forse capito, questo è un problema diretto.

Per i più bravi: nota che la relazione M = 2 · A è in forma utile per trovare M, che è proprio la quantità da trovare...

Problema: Marco possiede il doppio delle figurine di Andrea. Marco ha 14 figurine, quante ne ha Andrea?

In questo problema si sa, esattamente come prima, come calcolare il numero di figurine di Marco (M) se si conosce il numero di figurine di Andrea (A), però si sa già quante figurine ha Marco e quindi, per ritrovare quante figurine ha Andrea, si deve fare il ragionamento inverso rispetto a quello che mi dice il testo del problema. Nota che ho scritto le stesse identiche cose che ho scritto nel problema 2.Vediamo:

M = 2 · A nota che la relazione è identica a quella del problema precedente...

M = 14 ma ora conosco M e non A...

A = ?

Soluzione: A = 14 : 2 = 7 perché se Marco ha il doppio delle figurine di Andrea, Andrea ne ha la metà di Marco! Nota che la divisione è l’inverso della moltiplicazione.

Fine. Come avrai forse capito, questo è un problema inverso.

Per i più bravi: nota che la relazione M = 2 · A è in forma utile per trovare M, ma M è già noto. Se quella relazione fosse in forma utile per trovare A...

Come vedi non c’è niente di nuovo rispetto a quello che hai sempre fatto. Nel testo di entrambi questi problemi si parlava di una moltiplicazione. Nel primo hai fatto veramente un prodotto per trovare il risultato richiesto, mentre nel secondo hai dovuto fare un rapporto, cioè l’operazione inversa di quella specificata nel testo. Questo è dipeso da quale delle due quantità era quella conosciuta (e quindi quale era quella da trovare).

Ti chiederai: visto che è lo stesso di quello che ho fatto alle Elementari, perché dare questi nomi speciali a questi problemi base? Cosa c’è di nuovo? Infatti la risposta è: non c’è niente di nuovo nel tipo di problema, ma c’è qualcosa di nuovo nella famiglia degli operatori, perché ora conosci anche l’operatore frazione! Vediamo perciò un esempio di problema diretto e problema inverso con un operatore frazione.

Problema: Marco possiede i 2/3 delle figurine di Andrea. Andrea ha 15 figurine, quante ne ha Marco?

M = 2/3 di A

A = 15 conosco l’intero (A è l’intero nella relazione in frazione qui sopra)

M = ?

Soluzione: M = 2/3 di 15 = 10

Fine. Come avrai forse capito, questo è un problema diretto.

Per i più bravi: nota che la relazione è in forma utile per trovare M, che è proprio la quantità da trovare...

Problema: Marco possiede i 2/3 delle figurine di Andrea. Marco ha 14 figurine, quante ne ha Andrea?

In questo problema si sa, esattamente come prima, come calcolare il numero di figurine di Marco (M) se si conosce il numero di figurine di Andrea (A), però si sa già quante figurine ha Marco e quindi, per ritrovare quante figurine ha Andrea, si deve fare il ragionamento inverso rispetto a quello che mi dice il testo del problema. Nota che ho scritto le stesse identiche cose che ho scritto nel problema 2 e 4.Vediamo:

M = 2/3 di A nota che la relazione è identica a quella del problema precedente...

M = 14 conosco la parte (M è la parte nella relazione in frazione qui sopra)

A = ?

Soluzione: A = 3/2 di 14 = 21 perché se Marco ha i 2/3 delle figurine di Andrea, Andrea ha i 3/2 delle figurine di Marco, in quanto 3/2 è l’operatore inverso di 2/3!

Fine. Come avrai forse capito, questo è un problema inverso.

Per i più bravi: nota che la relazione è in forma utile per trovare M, ma M è già noto. Se quella relazione fosse in forma utile per trovare A...

Per riconoscere un problema diretto ed uno inverso solo in base alla forma delle relazioni nei dati quando la relazione fra le due quantità è una frazione, bisogna fare così:

In pratica: una volta scritta la relazione in frazione fra le due quantità, si guarda quale delle due quantità è conosciuta. Se:

è noto l’intero e si deve trovare la parte, il problema è diretto. Per trovare la parte si calcola la frazione della quantità conosciuta, cioè si moltiplica la quantità conosciuta per la frazione.
è nota la parte e di deve trovare l’intero, il problema è inverso. Per trovare l’intero si calcola la frazione inversa della quantità conosciuta, cioè si divide la quantità conosciuta per la frazione.

Quando la relazione fra le due quantità non è una frazione, ti regoli esattamente come facevi alle Elementari. Quindi questi due tipi di problemi sono stati classificati solo per aiutarti a capire come devi comportarti quando la relazione fra le due quantità è una frazione.

Rappresentazione grafica di un problema diretto o inverso

Come hai visto, il problema diretto ed il problema inverso si risolvono molto facilmente e, quindi, rappresentarli graficamente è un lavoro che ti porta via del tempo senza darti particolari benefici. Vediamo comunque come fare, nel caso che sentissi maggiore sicurezza col disegno sotto.

Come esempio risolviamo graficamente il problema 6, che è un problema inverso con le frazioni, il caso “più difficile”, se così si può dire, di questa classe di problemi. C’è da rappresentare una relazione in frazione (M = 2/3 di A) e una relazione di assegnazione (M = 14). Il disegno viene così:

Nota bene: lo scopo del lavoro è di trovare qual è il valore del segmento segnato con la x (o, più brevemente, di trovare la x). Partendo da questo valore si ricostruiscono poi i valori delle quantità sconosciute (in questo caso, A).

Siccome vedo che due scacchetti x valgono 14, allora trovo quanto vale una sola x facendo x = 14 : 2 = 7. Siccome il segmento A è composto da 3 scacchetti uguali a quello calcolato (è fatto da 3 x), allora A = 7 · 3 = 21.

Osserva che la sequenza di operazioni qui sopra è stata A = 14 : 2 · 3, che si può anche scrivere come A = 3/2 di 14 ed è esattamente la stessa procedura usata nel problema 6.

Problema somma / differenza

Come in tutti i problemi della stessa classe, nel problema somma / differenza non è assegnato il valore di nessuna delle due quantità, invece si conoscono due relazioni fra le due quantità. Più precisamente, abbiamo un problema somma / differenza quando le due relazioni che conosciamo sono:

La somma delle due quantità.
La differenza delle due quantità.

Fai attenzione: come al solito, non sempre queste due relazioni compariranno nella forma che ti aspetti in base al loro nome. Ogni relazione, infatti, può comparire in una qualunque delle sue forme utili.

Che cosa vuol dire? Per esempio, il testo del problema potrebbe certamente dirti che la differenza fra due quantità è 12, ma è molto facile che ti presenti la stessa cosa in altri termini, per esempio dicendo che una quantità supera l’altra di 12. Se è poco chiaro perché le due versioni sono in realtà la stessa cosa, ripassa qui. Vediamo un esempio.

Problema: Marco ha 12 figurine in più di Andrea ed in tutto ne hanno 42. Quante figurine ha ciascuno?

M = A + 12

M + A = 42

M = ?

A = ?

Avrai notato che la relazione M = A + 12 richiede di conoscere A per trovare M, ma anche A è da trovare! La relazione M + A = 42 non è in forma utile né per trovare A, né per trovare M e comunque per trovare una, anche qui mi serve l’altra!

Per aiutarti a capire come si può risolvere questo problema, rappresentiamolo graficamente: bisogna rappresentare la relazione differenza M = A + 12 e rappresentare la relazione somma M + A = 42. Il disegno viene così:

Il disegno ti mostra che il totale (42) è composto da 3 pezzi: uno che vale 12 e due uguali e sconosciuti (due x). Allora, se sottrai al totale il pezzo conosciuto (12), quello che ti resta è la somma delle due parti uguali x. Ma allora se dividi quello che hai trovato per due, ottieni proprio il valore della quantità x.

42 − 12 = 30 figurine

x = 30 : 2 = 15 figurine.

Meglio ancora se tieni i conti raccolti in una espressione.

x = (42 − 12) : 2 = 15 figurine.

In pratica: per trovare la x in un problema con questa struttura grafica, sottrai dalla somma totale il valore di tutti i segmenti conosciuti, poi dividi quello che hai trovato per il numero di segmenti x che sono rimasti.

Fai attenzione: in questo tipo di problema, la x corrisponde già ad una delle due quantità sconosciute (precisamente, alla minore delle due).

Quindi, invece di x = (42 − 12) : 2 = 15 figurine, avresti potuto anche scrivere direttamente A = (42 − 12) : 2 = 15 figurine.

E per A, siamo a posto! E per trovare M? Beh, adesso che conosci x, guardi il disegno e vedi che M è composto di un pezzo x più uno da 12. Allora

M = 15 + 12 = 27

Nota bene: arrivi alla stessa conclusione osservando che, ora che conosci A, la relazione M=A+12 assieme alla assegnazione A=15 formano un problema diretto, che puoi risolvere anche in modo simbolico.

Problema con le frazioni di tipo somma

Come in tutti i problemi della stessa classe, nel problema con le frazioni di tipo somma non è assegnato il valore di nessuna delle due quantità, invece si conoscono due relazioni fra le due quantità. Più precisamente, abbiamo un problema con le frazioni di tipo somma quando le due relazioni che conosciamo sono:

La relazione in frazione fra le due quantità.
La somma delle due quantità.

Fai attenzione: come al solito, la relazione somma potrebbe anche non comparire nella forma che ti aspetti in base al suo nome. Ogni relazione, infatti, può comparire in una qualunque delle sue forme utili.

Problema: Marco ha i 5/6 delle figurine di Andrea ed in tutto ne hanno 33. Quante figurine ha ciascuno?

M = 5/6 di A (o M = 5/6 · A)

M + A = 33

M = ?

A = ?

Avrai notato che la relazione M = 5/6 di A richiede di conoscere A per trovare M, ma anche A è da trovare! La relazione M + A = 33 non è in forma utile né per trovare A, né per trovare M e comunque per trovare una, anche qui mi serve l’altra!

Per aiutarti a capire come si può risolvere questo problema, rappresentiamolo graficamente: bisogna rappresentare la relazione in frazione M = 5/6 di A e rappresentare la relazione somma M + A = 33. Il disegno viene così:

Il disegno ti mostra che il totale (33) è composto da 11 pezzi: tutti uguali e sconosciuti (11 x). Sono 11 perché 33 corrisponde alla somma dei due segmenti: siccome uno è composto di 5 scacchetti x, l’altro da 6 scacchetti x, in tutto la somma è formata da 6 + 5 = 11 scacchetti x. Allora, per trovare una sola x basta che dividi il valore della somma per 11!

x = 33 : 11 = 3 figurine.

In pratica: per trovare la x in un problema con questa struttura grafica, dividi il valore conosciuto (in questo caso la somma) per il numero di scacchetti x a cui è assegnato.

Fai attenzione: in questo tipo di problema, la x non corrisponde di per sé a nessuna delle due quantità sconosciute.

Come trovo ora A e M? Osservo semplicemente che M è composta da 5 scacchetti x tutti uguali e che ora so che la x vale 3, quindi...

M = 5 · 3 = 15 figurine.

E per trovare A? Ma è lo stesso ragionamento che per trovare M! Osservo semplicemente che A è composta da 6 scacchetti x tutti uguali e che ora so che la x vale 3, quindi...

A = 6 · 3 = 18 figurine.

Problema con le frazioni di tipo differenza

La relazione in frazione fra le due quantità.
La differenza delle due quantità.

Fai attenzione: come al solito, la relazione differenza potrebbe anche non comparire nella forma che ti aspetti in base al suo nome. Ogni relazione, infatti, può comparire in una qualunque delle sue forme utili.

Problema: Marco ha i 2/5 delle figurine di Andrea ed Andrea ne ha 18 in più di Marco. Quante figurine ha ciascuno?

M = 2/5 di A (oppure M = 2/5 · A)

A = M + 18 (oppure A − M = 18 oppure M = A − 18)

M = ?

A = ?

Avrai notato che la relazione M = 2/5 di A richiede di conoscere A per trovare M, ma anche A è da trovare! La relazione A = M + 18 non è in forma utile né per trovare A, né per trovare M e comunque per trovare una, anche qui mi serve l’altra!

Per aiutarti a capire come si può risolvere questo problema, rappresentiamolo graficamente: bisogna rappresentare la relazione in frazione M = 2/5 di A e rappresentare la relazione differenza A = M + 18. Il disegno viene così:

Nota bene: nell’assegnare il valore 18 al segmento differenza (quello verde) ho usato la graffa, perché il segmento differenza è a sua volta composto di diversi pezzi.

Il disegno ti mostra che il segmento differenza è composto da 3 pezzi tutti uguali e sconosciuti (3 x). Sono 3 perché 18 corrisponde alla sola differenza dei due segmenti: siccome uno è composto di 5 scacchetti x, l’altro da 2 scacchetti x, la differenza è formata da 5 − 2 = 3 scacchetti x. Allora, per trovare una sola x basta che dividi il valore della differenza per 3!

x = 18 : 3 = 6 figurine.

In pratica: per trovare la x in un problema con questa struttura grafica, dividi il valore conosciuto (in questo caso la differenza) per il numero di scacchetti x a cui è assegnato.

Fai attenzione: in questo tipo di problema, la x non corrisponde di per sé a nessuna delle due quantità sconosciute.

Come trovo ora A e M? Osservo semplicemente che M è composta da 2 scacchetti x tutti uguali e che ora so che la x vale 6, quindi...

M = 2 · 6 = 12 figurine.

E per trovare A? Ma è lo stesso ragionamento che per trovare M! Osservo semplicemente che A è composta da 5 scacchetti x tutti uguali e che ora so che la x vale 6, quindi...

A = 5 · 6 = 30 figurine.