Le frazioni

Probabilmente avrai già visto le frazioni alle elementari e, forse, anche alcune delle loro proprietà. Nel caso che non fosse così, una frazione è fatta in questo modo:

Frazione

Fai moltissima attenzione: una cosa fondamentale, che non devi mai dimenticare a proposito delle frazioni, è che una frazione non è altro che una divisione fra il numeratore ed il denominatore, lasciata indicata senza essere risolta. Scrivere 3/4, o scrivere 3:4, o scrivere il risultato della divisione, cioè 0,75, è la stessa identica cosa da ogni punto di vista.

In pratica: visto che la frazione è una divisione, “numeratore” è solo un altro modo di chiamare il suo operando sinistro (quindi è la stessa cosa di “dividendo”), “denominatore” è solo un altro modo di chiamare il suo operando destro (quindi è la stessa cosa di “divisore”).

Una conseguenza molto importante è che la linea di frazione è l’operatore di divisione, solo che invece che col simbolo “:” è scritto a forma di linea orizzontale (o diagonale). È per questo motivo, per esempio, che sul computer per dividere devi premere il tasto “/”, cioè appunto la linea di frazione. A volte capita che qualcuno cominci a scrivere le frazioni senza mettere la linea di frazione, perché evidentemente pensa che questa sia lì solo per bellezza e gli piace di più senza. Questo è un grave errore, esattamente come lo è scrivere una addizione senza il + fra gli addendi, oppure una sottrazione senza il - fra il minuendo ed il sottraendo: non ha nessun senso, perché se l’operatore non viene indicato, non si sa qual è!

In pratica: la linea di frazione fra numeratore e denominatore deve sempre essere scritta, perché indica un operatore.

Fai molta attenzione: siccome la frazione è una divisione, d’ora in poi useremo il modo di dire “risolvere la frazione” al posto di “calcolare il risultato della divisione indicata dalla frazione”. Quindi quando ti chiederò, ad esempio, di risolvere la frazione 3/5, ti starò chiedendo di dirmi il risultato dell’operazione 3 : 5 (insomma, dovrai fare il calcolo e dirmi che fa 0,6). Vedremo invece più sotto che “applicare una frazione” ha un significato molto diverso, quindi fai bene attenzione a cosa ti viene chiesto!

In pratica: “risolvere una frazione” significa eseguire la divisione fra il numeratore ed il denominatore. Il risultato è quasi sempre un numero con la virgola.

In pratica: la frazione ed il numero con la virgola ottenuto risolvendo quella stessa frazione si dicono “corrispondenti”. Per esempio 0,5 e 1/2 sono corrispondenti (a volte si dice anche che 0,5 è il decimale corrispondente alla frazione 1/2, o che 1/2 è la frazione corrispondente al decimale 0,5). Vuole dire che sono lo stesso numero!

Risolvere una frazione è sempre possibile, tranne quando il denominatore è 0: ti ricordi, vero, che non si può dividere per 0? Se riguardi il capitolo sugli operatori e le loro proprietà vedrai che il divisore di una divisione (cioè il denominatore di una frazione) non può mai essere 0 e che 0/0 è una forma indeterminata (come dire 0:0), mentre, per qualsiasi altro numeratore a, a/0 è impossibile (come dire a:0).

Visto che la frazione è semplicemente una divisione, potresti chiederti: perché la scriviamo e la chiamiamo in un modo diverso, cambiando anche il nome degli operandi e del risultato? Ci sono molte ragioni, ma per ora ne elencheremo due: non sono le più importanti, ma sono le uniche che puoi comprendere allo stato attuale delle tue conoscenze.

La prima ragione è di tipo molto pratico: vedremo che le frazioni ci permettono di fare calcoli con i numeri interi al posto di calcoli con numeri con la virgola. Come abbiamo già spiegato nel capitolo sulla divisibilità, gli antichi cercarono tutti i modi possibili per evitare le divisioni non intere. Inoltre, anche se oggi ha poco valore, esistono numeri decimali che non possono essere rappresentati in maniera esatta nei calcoli, che quindi non potrebbero essere svolti in maniera completamente esatta: utilizzando al loro posto le frazioni, invece, si hanno sempre calcoli esatti, perché si lavora solo con i numeri interi. Sappi però che i computer odierni, in realtà, non userebbero mai le frazioni: questo perché quando i numeri non sono scelti apposta per far venire bene l’esercizio (cioè, in pratica, in qualsiasi caso reale!), dopo poche operazioni verrebbero fuori risultati talmente enormi da rendere l’uso delle frazioni controproducente (insomma, è meno faticoso usare i decimali). L’uso delle frazioni è quindi, nell’ambito delle scienze, per lo più confinato allo sviluppo del calcolo algebrico astratto (che inizieremo a vedere in terza media).

La seconda ragione, oggigiorno molto più importante della prima, è che a volte abbiamo bisogno di parlare di una cosa in un modo molto più specifico del solito. Cosa significa? Provo a risponderti con una domanda: cosa risponderesti se ti chiedessi di dirmi quanti nomi conosci per indicare un’imbarcazione? Mi diresti “barca”, “nave”, “chiatta”, “traghetto”, “zattera,” “canotto” e probabilmente andresti avanti ancora per un bel po’. Ogni nome, pur riferendosi sempre ad un’imbarcazione, in realtà comunica anche delle informazioni sull’uso che di quella imbarcazione si fa. Per esempio una “barca” è piccola e adatta ad una gita sul lago; una “chiatta” serve a trainare qualcosa; con una “nave” si attraversa l’oceano, ma con una “zattera” ci proverebbe solo Robinson Crusoe! In altre parole, un nome specifico contiene in sé delle informazioni che evitano la necessità di ripeterle ogni volta: dicendo “nave”, non sono obbligato a dire “imbarcazione di grandi dimensioni adatta a solcare l’oceano” e risparmio così tanto tempo e possibile confusione! Allo stesso modo, le parole “divisione”, “frazione” e “rapporto” indicano tutte la stessa operazione, ma da punti di vista diversi a seconda dell’uso che si intende farne:

In ogni caso, ricordati che molto spesso userò comunque il termine rapporto, sia per indicare semplicemente una divisione, sia per indicare il suo risultato, oppure per puntualizzare che l’operazione darà luogo ad un nuovo tipo di grandezza.

In pratica: con la parola “rapporto” si possono indicare molti aspetti diversi della divisione, tutti importanti allo stesso modo. Bisogna capire a fondo ognuno di questi aspetti ed è per questo motivo che, quando abbiamo fatto le proprietà degli operatori, ho insistito tanto perché tu imparassi bene i termini usati per la divisione.

La frazione come operatore

Più sopra abbiamo detto che usiamo il termine “frazione”, al posto di “divisione”, quando siamo interessati a quanto una parte di una quantità è grande rispetto al totale di questa quantità. Per capire cosa vuole dire, facciamo ancora un esempio preso dalla Geografia: avrai visto, viaggiando per strada, i cartelli che indicano l’inizio di un paese, ad esempio quello di Miramare a Rimini. C’è scritto: “Miramare, frazione di Rimini”. Cosa vuol dire quella parola “frazione”? Significa precisamente che il territorio del paese di Miramare è solo una parte dell’intero territorio del Comune di Rimini, che è suddiviso in tante parti, fra le quali c’è Miramare L’insieme di tutte le frazioni di Rimini consiste nell’intero territorio del Comune. Quando utilizziamo la frazione in questo senso, dobbiamo specificare rispetto a cosa stiamo valutando la frazione, cioè di che cosa stiamo valutando una parte: se stiamo parlando di un territorio, la frazione indica una parte di territorio.

Quando facciamo un’addizione, l’operatore + prende due quantità (addendi) e determina la quantità risultante (somma), ma non ci interessa il significato che il + ha di per sé. Allo stesso modo, una frazione può prendere una quantità e determinare una quantità risultante e quando la usiamo in questo modo, non ci interessa il significato che la frazione ha di per sé (cioè non ci interessa il numero decimale ottenuto dividendo numeratore e denominatore). In questo senso, quindi, la frazione è usata come un operatore, perché non si considera più il significato che ha di per sé, ma acquista senso solo quando “fa un’operazione” su una quantità (operando) e ne determina un’altra (risultato). L’operatore frazione prende il suo operando, lo divide in tante parti uguali quante ne dice il denominatore e poi ne prende tante quante ne dice il numeratore.

In pratica: per fare un’operazione dell’operatore frazione, prendi l’operando e dividilo per il denominatore della frazione, poi moltiplica quello che hai ottenuto per il numeratore della frazione.

Frazione è un operatore un po’ speciale, perché in effetti è una combinazione di due operatori puri (un : e poi un ∙) ed inoltre ha un solo operando, diversamente da tutti gli altri operatori che conosci, che ne hanno due.

In pratica: l’operando (destro) dell’operatore frazione si chiamaintero” (perché è la intera quantità di cui vogliamo calcolare la frazione). Il risultato dell’operazione si chiamaparte” (perché spesso, ma non sempre, è una parte più piccola dell’intera quantità iniziale).

In pratica: “applicare una frazionesignifica calcolare la “parte”, eseguendo la operazione di frazione sull’“intero”.

Fai molta, molta, moltissima attenzione: i nomi “intero” e “parte” derivano dal fatto che quando si pensa ad una frazione di qualcosa, di solito si pensa ad una parte di qualcosa di più grande (come nel caso di Miramare e Rimini). Però vedremo che ci sono casi in cui, applicando una frazione, si determina una quantità maggiore di quella di partenza. Questo significa che, da ora in poi, devi considerare che “intero” e “parte” sono solo dei nomi e non significa assolutamente che l’intero sia il valore più grande dei due, né che la parte sia il valore più piccolo.

In pratica: l’intero è l’operando di un operatore frazione, non il numero più grande (almeno, non sempre); la parte è il risultato della operazione di frazione, non il numero più piccolo (almeno, non sempre)!

Osserva i seguenti esempi di calcolo di frazioni come operatori.

operatore intero   parte   operatore intero   parte
3/4 di 20 = 15 5/2 di 20 = 50
Perché 20 : 4 = 5 e 5 ∙ 3 = 15 Perché 20 : 2 = 10 e 10 ∙ 5 = 50
parte < intero parte > intero

Esempio: quale fra i numeri 9 e 12, legati da una frazione, è l’intero? Quale è la parte? Non è possibile rispondere a questa domanda senza conoscere qual è la frazione applicata! Infatti, se la frazione applicata fosse 3/4, allora 12 sarebbe l’intero e 9 la parte, perché 9 = 3/4 di 12. Al contrario, se la frazione applicata fosse 4/3, allora 12 sarebbe la parte e 9 l’intero, perché 12 = 4/3 di 9!

Esempio: in una relazione come B = 3/4 di A, A è l’intero, perché A è il nome della quantità di cui vogliamo calcolare i 3/4, cioè A è l’operando della frazione, indipendentemente da qualunque sia il valore di A. La parte invece è B, perché B è il nome della quantità che è il risultato dell’applicazione della frazione 3/4 ad A, indipendentemente da qualunque sia il valore di B, anche se è maggiore di quello di A!

Esempio: un rettangolo ha la base che è i 3/4 dell’altezza. Qual è l’intero? Potresti pensare che l’intero sia tutto il rettangolo. ASSOLUTAMENTE NO! L’intero è comunque una delle due quantità legate da una frazione (in particolare, è quella delle due sulla quale applichiamo la frazione). In questo problema, tuttavia, non c’è nessuna frazione che si applica a “tutto il rettangolo” (3/4 si applica solo all’altezza del rettangolo). Anzi, una frazione del genere non può proprio esistere, nemmeno in altri problemi, per la semplice ragione che “tutto il rettangolo non è una quantità misurabile e perciò non è possibile calcolarne una frazione (né usarlo in qualunque altro tipo di calcolo). Allora, “tutto il rettangolo” non può essere l’intero di nulla! In questo caso l’intero è la sola altezza del rettangolo, perché per trovare la base, noi dobbiamo fare i 3/4 della altezza, quindi (con questo testo del problema) l’altezza è l’intero, la base è la parte. La relazione, infatti, sarebbe b (base) = 3/4 di a (altezza), che è la stessa dell’esempio precedente.

Frazioni proprie, improprie, apparenti

Definizione: una frazione è “propria” quando, applicata ad un intero, risulta che la parte è più piccola dell’intero di partenza (cioè il risultato è più piccolo dell’operando).

Questo nome deriva dal fatto che la frazione si comporta “proprio” come ci si aspetta, cioè rimpicciolendo la quantità iniziale.

Siccome applicare la frazione significa dividere in tante parti quante ne dice il denominatore e poi prenderne tante quante ne dice il numeratore, è chiaro che il risultato può venire più piccolo dell’operando (cioè la frazione è “propria”) solo quando il numeratore è più piccolo del denominatore, perché in questo caso si prendono meno parti di quelle in cui si era diviso l’intero.

Se risolviamo una frazione in cui il numeratore è più piccolo del denominatore (cioè risolviamo una frazione “propria”), il numero decimale ottenuto è per forza compreso fra 0 ed 1, perché il denominatore “non ci sta” nemmeno una volta nel numeratore, essendo più grande! Riassumendo:

In pratica: una frazione è “propria” quando:

Fai attenzione: se si verifica una qualsiasi di queste condizioni, si verificano per forza anche le altre due, quindi per decidere se una frazione è propria, basta che ne controlli una qualunque.

Un esempio di frazione propria è 3/8. Infatti:

Definizione: una frazione è “impropria” quando, applicata ad un intero, risulta che la parte è più grande dell’intero di partenza (cioè il risultato è più grande dell’operando).

Questo nome deriva dal fatto che la frazione si comporta “non proprio” come ci si aspetta, perché ingrandisce la quantità iniziale.

Siccome applicare la frazione significa dividere in tante parti quante ne dice il denominatore e poi prenderne tante quante ne dice il numeratore, è chiaro che il risultato può venire più grande dell’operando (cioè la frazione è “impropria”) solo quando il numeratore è più grande del denominatore, perché in questo caso si prendono più parti di quelle in cui si era diviso l’intero.

Se risolviamo una frazione in cui il numeratore è più grande del denominatore (cioè risolviamo una frazione “impropria”), il numero decimale ottenuto è per forza maggiore di 1, perché il denominatore “ci sta” almeno una volta nel numeratore, essendo più piccolo!

In pratica: una frazione è “impropria” quando:

Fai attenzione: se si verifica una qualsiasi di queste condizioni, si verificano per forza anche le altre due, quindi per decidere se una frazione è impropria, basta che ne controlli una qualunque.

Un esempio di frazione impropria è 8/3. Infatti:

Definizione: una frazione è “apparente” quando, applicata ad un intero, succede che la parte è un multiplo esatto dell’intero di partenza (cioè il risultato è un multiplo esatto dell’operando).

Siccome applicare la frazione significa dividere in tante parti quante ne dice il denominatore e poi prenderne tante quante ne dice il numeratore, è chiaro che il risultato può venire un multiplo esatto dell’operando (cioè la frazione è “apparente”) solo quando il numeratore è un multiplo esatto del denominatore, perché in questo caso si prendono un numero di parti esattamente multiple di quelle in cui si era diviso l’intero.

Se risolviamo una frazione in cui il numeratore è un multiplo esatto del denominatore (cioè risolviamo una frazione “apparente”), il numero decimale ottenuto è per forza un intero, perché il denominatore “ci sta” un numero intero di volte nel numeratore, essendo il numeratore un suo multiplo!

Il nome “apparente” deriva dal fatto che la frazione non produce un numero decimale, come ci si aspetterebbe, ma dà un numero intero.

Osserva che una frazione “apparente” è anche “impropria” perché il numeratore è più grande del denominatore. Un altro modo di dire la stessa cosa è che l’insieme delle frazioni apparenti è un sottoinsieme di quello delle frazioni improprie.

In pratica: una frazione è “apparente” quando:

Fai attenzione: se si verifica una qualsiasi di queste condizioni, si verificano per forza anche le altre due, quindi basta che ne controlli una qualunque.

Un esempio di frazione apparente è 16/8, infatti:

Fai attenzione: essere propria, impropria od apparente è una caratteristica che puoi assegnare ad una singola frazione, cioè puoi decidere se una frazione è propria, impropria o apparente guardando solo la frazione stessa, senza nessuna relazione con altre frazioni.

Numeri razionali

Definizione: un numero “razionale” è un numero che può essere ottenuto anche come risultato di una divisione fra due numeri interi.

La parola “anche” è sottolineata perché qualsiasi numero può sempre essere ottenuto dal rapporto di due numeri decimali (con la virgola), ma solo i razionali possono essere ottenuti anche dal rapporto di due numeri naturali! Per esempio 0,7 è un numero razionale perché può essere ottenuto dal rapporto dei numeri naturali 7 e 10. Il fatto che, ovviamente, possa essere ottenuto in altri infiniti modi dividendo numeri con la virgola (per esempio 0,7 : 1 oppure 1,4 : 2 oppure 0,21 : 0,3 e così via) non cambia in nulla la situazione.

Visto che un numero razionale è il risultato di una divisione fra numeri interi e che la frazione non è altro che, appunto, una divisione fra numeri interi, si può affermare che qualsiasi frazione è un numero razionale, solo che il suo valore non è stato calcolato, ma lasciato indicato come divisione da svolgere. Viceversa, si può anche affermare che qualsiasi numero razionale corrisponde a una frazione, nel senso che si può sempre trovare una frazione che, risolta, dia per risultato il numero razionale considerato.

Tutte le frazioni prese assieme formano un insieme, indicato con Q, chiamato “insieme dei numeri razionali”. Il nome “razionale” viene dal fatto che in latino “ratio” vuol dire divisione ed ogni numero razionale si può vedere come il quoziente di una divisione. La lettera Q che identifica l’insieme viene dalla parola “quoziente”. Per adesso consideriamo solo l’insieme dei numeri razionali positivi (indicato da Q+). Osserva che l’insieme delle frazioni apparenti positive non è altro che l’insieme dei numeri naturali N. Quindi N è un sottoinsieme di Q+!

Dato che N è un sottoinsieme di Q+, allora è sempre possibile scrivere un numero intero sotto forma di frazione. Basta scrivere una frazione che ha per numeratore il numero intero considerato e come denominatore 1. Infatti, qualsiasi numero diviso per uno resta sé stesso. Per esempio, il numero 3 può essere scritto sotto forma di frazione come 3/1, perché 3 e 3/1 sono equivalenti. Vedremo che questo ci permetterà di fare operazioni fra numeri interi e frazioni, semplicemente scrivendo il numero intero come una frazione.

Frazioni equivalenti

Definizione: due frazioni si dicono “equivalenti” quando, applicate allo stesso intero, producono la stessa parte (cioè i risultati delle due frazioni, applicate allo stesso intero, sono uguali).

Questo nome deriva dal fatto che, pur essendo scritti diversamente, i due operatori frazione si equivalgono nel determinare il risultato, cioè non importa quale dei due utilizzo.

Per esempio, considera 3/4 e 9/12. Applicando entrambe all’intero 24 viene:

quindi le frazioni 3/4 e 9/12 sono equivalenti.

Si può verificare, facendo delle prove, che risolvendo due frazioni equivalenti si ottiene esattamente lo stesso numero decimale. Per esempio, usando le stesse frazioni di prima, puoi verificare che:

Siccome due divisioni fra numeri interi danno lo stesso risultato se una delle due si può ottenere dall’altra applicando la proprietà invariantiva della divisione, allora due frazioni (che sono divisioni) sono equivalenti se una si può ottenere dall’altra moltiplicando o dividendo il numeratore ed il denominatore per lo stesso numero.

In pratica: due (o più) frazioni sono “equivalenti” quando:

Attenzione: se si verifica una qualsiasi di queste condizioni, si verificano per forza anche le altre due, quindi basta che ne controlli una qualunque.

Fai attenzione: essere equivalenti è una caratteristica che puoi assegnare ad una coppia di frazioni (o a più di due frazioni), cioè puoi decidere se una frazione è equivalente ad un’altra, ma non ha senso dire che una singola frazione è equivalente di per sé, senza confrontarla con un’altra frazione.

Semplificazione di una frazione

Defininizione: semplificare una frazione significa trovarne una equivalente ad essa, ma che abbia il numeratore ed il denominatore più piccoli.

Per far questo, visto che la frazione è una divisione, si può utilizzare la proprietà invariantiva di questo operatore. Come sai già, la proprietà invariantiva della divisione dice che si possono moltiplicare o dividere entrambi gli operandi di una divisione per lo stesso numero, senza cambiare il risultato della divisione. Trasportando tutto il discorso su una frazione, vuol dire si può moltiplicare o dividere il numeratore ed il denominatore (entrambi gli operandi) di una frazione (di una divisione) per lo stesso numero, ottenendo una frazione equivalente (senza cambiare il risultato della divisione).

Fai moltissima attenzione: d’ora in poi, ricordati che PRIMA di applicare qualsiasi tipo di procedura con le frazioni è fondamentale semplificare tutte le frazioni coinvolte. Spesso, se non semplifichi prima, il lavoro può diventare molto più difficile e, in certi casi, addirittura non può essere svolto!

Trasformazione di una frazione in una equivalente

Trasformare una frazione in un’altra ad essa equivalente, che abbia un denominatore specificato, è una delle operazioni fondamentali per lavorare con le frazioni. In ogni caso, la procedura si rifà sempre alla proprietà invariantiva della divisione, proprio come la semplificazione. Immagina di voler trovare una frazione equivalente a 5/4, ma che abbia denominatore 12. Siccome per trasformare il denominatore 4 nel denominatore 12 devo moltiplicarlo per 3, in base alla proprietà invariantiva devo moltiplicare per 3 anche il numeratore, se voglio che la frazione trasformata sia equivalente alla prima. Allora il numeratore della frazione trasformata deve essere 5·3 = 15. La frazione sarà allora 15/12, cioè 5/4 = 15/12. Puoi verificare facilmente che sono equivalenti, perché se semplifichi 15/12 ti verrà proprio 5/4: naturalmente, 15/12 si semplifica per 3!

In pratica: per trasformare una frazione in un’altra di denominatore dato devi trovare il nuovo numeratore della frazione equivalente. Per farlo devi dividere il nuovo denominatore per il vecchio e poi moltiplicare il risultato ottenuto per il vecchio numeratore.

Fai molta attenzione: trasformare una frazione in un’altra equivalente è una operazione che non è sempre possibile fare. Il nuovo denominatore deve essere un multiplo del vecchio, altrimenti la divisione viene con la virgola!

Esempio: trasforma la frazione 3/5 al denominatore 10.

10 : 5 = 2 e 2 · 3 = 6. Perciò 3/5 = 6/10.

Esempio: trasforma la frazione 3/5 al denominatore 6.

6 : 5 = 1,2 Non è possibile trovare una frazione equivalente a 3/5 e di denominatore 6, perché alcune operazioni vengono con la virgola. Andando avanti verrebbe 3 · 1,2 = 3,6 e quindi 3/5 = 3,6/6. Ora, ricordati che non è che ci sia qualcosa di strano nell’espressione 3,6/6, solo che non è considerata una frazione, perché il dividendo non è intero.

Esempio: trasforma la frazione 3/6 al denominatore 4.

Sembra impossibile trovare una frazione equivalente a 3/6 e di denominatore 4, perché alcune operazioni vengono con la virgola. Però, se ti ricordi che prima di tutto bisogna semplificare le frazioni, vedrai che 3/6 = 1/2. Allora, usando 1/2 al posto di 3/6, perché tanto sono lo stesso numero, trasformo 1/2 al denominatore 4, facendo 4 : 2 = 2 e 2·1 = 2 e perciò 1/2 = 2/4 e quindi anche 3/6 = 1/2 = 2/4

Fai moltissima attenzione: come hai visto nell’ultimo esempio, la trasformazione di una frazione in un’altra equivalente è uno di quei casi in cui può essere impossibile procedere, se prima non si è semplificata la frazione di partenza!

Confronto di frazioni

Definizione: confrontare due numeri significa stabilire quale dei due è il maggiore e quale invece è il minore.

Visto che qualunque frazione è anche un numero decimale (quello ottenuto risolvendola), allora due frazioni possono essere confrontate come qualsiasi altro numero, perché in realtà stiamo confrontando i numeri decimali che corrispondono alle due frazioni.

In pratica: ci sono tre modi possibili per confrontare due frazioni

  1. Il modo più intuitivo di farlo è semplicemente di risolvere entrambe le frazioni e poi confrontare i numeri decimali ottenuti: la frazione maggiore è quella che corrisponde al numero decimale maggiore.
  2. Questa procedura è facile da capire, però può comportare la soluzione di divisioni con la virgola, che era proprio quello che cercavamo di evitare usando le frazioni! Però quando le due frazioni, risolte, hanno parti intere diverse, questo è il metodo più veloce di tutti. Per esempio è facile capire che 7/3 è maggiore di 5/4, perché 7/2 è maggiore di 3, mentre 5/4 è minore di 2.

    Come caso particolare, puoi dedurre che qualsiasi frazione propria è minore di qualsiasi frazione impropria.

  3. Un altro modo per raggiungere lo stesso scopo è di applicare le due frazioni allo stesso intero e poi confrontare le parti ottenute: la frazione maggiore è quella che dà la parte maggiore.
  4. Questa procedura ti risparmia di eseguire divisioni con la virgola, ma è svantaggiosa, perché richiede di inventarsi un intero che non c’entra niente con le due frazioni, solo per potergliele applicare e confrontare i risultati. Per questo, non usare mai questa procedura, se non hai a disposizione per altri motivi un intero da utilizzare.

    Come casi particolari, puoi dedurre che:

    • Fra due frazioni con lo stesso numeratore, è minore quella con denominatore più grande.
    • Infatti questa frazione prende lo stesso numero di “fette di torta” dell’altra, ma le sue fette sono più piccole!

    • Fra due frazioni con lo stesso denominatore, è minore quella con numeratore più piccolo.
    • Infatti questa frazione fa “fette di torta” uguali a quelle dell’altra, e poi ne prende di meno!

  5. Il metodo che nella maggior parte dei casi risulta essere il migliore è quello di portare entrambe le frazioni ad uno stesso denominatore e poi confrontare i nuovi numeratori: la frazione maggiore è quella che ha il nuovo numeratore maggiore.
  6. Questo metodo permette di confrontare due frazioni senza la necessità né di risolverle, né di applicarle, e quindi non risente di nessuno dei problemi dei metodi precedenti. Di solito, per avere i calcoli più semplici possibili, come denominatore comune si utilizza il m.c.m. dei denominatori iniziali delle frazioni.

Come esempio, confrontiamo le due frazioni 2/5 e 4/3. 2/5 è minore di 4/3 perché:

Osserva che il secondo metodo richiede di inventarsi l’intero 30, che non c’entra niente col problema iniziale. Inoltre, se invece di 30 avessi preso 29, saresti stato in guai grossi, perché sia 29:5 che 29:3 vengono con la virgola! Se usi la seconda procedura, non va bene un intero qualsiasi per fare il lavoro: se lo scegli male, tanto vale risolvere direttamente le frazioni col primo metodo, sono comunque da fare due divisioni con la virgola! Per usare questo metodo, come intero devi scegliere un multiplo comune ai due denominatori (ad esempio il loro m.c.m. od il loro prodotto), infatti in questo modo quando dividerai l’intero per i denominatori verrà bene per forza, visto che in entrambi i casi sono suoi divisori! Puoi anche notare che il terzo metodo è sempre molto pratico. In questo caso, tuttavia, conveniva usare il primo metodo, perché osservando che 2/5 è propria, mentre 4/3 è impropria, non ti serviva nemmeno risolverle per capire che 2/5 è minore! Infatti, essendo propria, 2/5 è minore di 1 mentre, essendo impropria, 4/3 è maggiore di 1, perciò 2/5 < 4/3.

Attenzione: per confrontare due frazioni si può utilizzare uno qualsiasi di questi sistemi, tuttavia non sono equivalenti dal punto di vista pratico, perché possono richiedere un impegno di calcolo anche molto diverso l’uno dall’altro. Dovresti scegliere quello che è più veloce da usare caso per caso.

Posizionamento sulla retta dei numeri

Definizione: "posizionare una frazione" sulla retta dei numeri significa determinare esattamente dove si trova sulla retta il numero decimale corrispondente alla frazione.

Per prima cosa, anche se non è strettamente necessario, è molto utile individuare fra quali numeri interi (consecutivi) si trova la frazione. Fare questo a volte ti evita di fare errori da mucca, sbagliando la posizione in modo esagerato. Per determinare fra quali interi consecutivi si trova la frazione, basta risolverla fermandosi alla parte intera del risultato. Per esempio la frazione 5/4 si trova fra il numero 1 ed il numero 2, perché se faccio 5:4 vedo che il 4 “ci sta” una volta nel 5. La parte decimale non mi interessa per questo scopo, quindi non sto a fare la fatica di calcolare il valore esatto 1,25.

Fai estrema attenzione: per determinare fra quali interi si trova una frazione, è sbagliatissimo dire che è compresa fra il valore del numeratore e quello del denominatore. Prendi per esempio 4/5: siccome è una frazione propria lo sai già che è compresa fra 0 ed 1 e non fra 4 e 5! Se poi consideri che 4/5 è equivalente a 8/10, queste due frazioni devono andare entrambe nello stesso punto sulla retta dei numeri, perché corrispondono allo stesso numero razionale! Come potrebbe essere quindi che questo punto si trovi sia fra 4 e 5, che fra 8 e 10? In più 8 e 10 non sono nemmeno consecutivi. Morale: per determinare alla svelta fra quali interi si trova una frazione, devi risolverla almeno fino alla parte intera.

Un modo di trovare la posizione di una frazione sulla retta dei numeri è quello di risolvere la frazione e poi posizionare il decimale ottenuto. Lo svantaggio è che se il decimale ha molte cifre dopo la virgola, ci può volere molto tempo a fare il calcolo e può anche diventare molto difficile individuare il punto preciso della retta su cui mettere il risultato.

Un metodo estremamente utile per questo scopo è invece quello di applicare la frazione all’intero. Ti ricorderai che ti avevo sconsigliato fermamente di usare questo sistema per confrontare due frazioni. Lo avevo fatto perché in quel caso richiedeva di inventarsi dal nulla l’intero su cui applicarle, ma in questo caso l’intero ce l’hai già, perché è esattamente il segmento che va da 0 ad 1 sulla retta dei numeri! Basta quindi che prendi il righello ed applichi a quel segmento l’operatore frazione: lo dividi in tante parti quante ne dice il denominatore e poi ne prendi tante quante ne dice il numeratore!

In pratica: per posizionare una frazione su una retta assegnata (cioè già disegnata):

Esempio: trova la posizione del numero 2/3 sulla seguente retta dei numeri.

RettaSemplice

Per prima cosa determini che 2/3 si trova fra 0 ed 1 (non fra 2 e 3!), perché 2:3 fa 0 e un po’.

RettaDueTerzi_a

A questo punto prendi il righello e dividi il segmento fra 0 ed 1 in 3 parti, poi ne prendi 2.

RettaDueTErzi_b

Esempio: trova la posizione del numero 10/3 sulla seguente retta dei numeri.

Per prima cosa vedi che 10/3 si trova fra 3 e 4 (non fra 10 e 3!), perché 10:3 fa 3 e un po’.

RettaDieciTerzi_a

A questo punto prendi il righello e dividi il segmento fra 0 ed 1 in 3 parti. Dividi anche le unità successive, almeno fino al segmento fra il 3 e il 4. Adesso prendi 10 di queste parti.

RettaDieciTerzi_b

Esempio: trova la posizione dei numeri 8/4 e 3/2 sulla seguente retta dei numeri.

Per prima cosa determini che 8/4 è esattamente 2, mentre 3/2 fa 1,5. Allora non serve farla lunga …

RettaDueeTreMezzi

In alcuni casi è necessario ordinare più di due frazioni ed anche posizionarle su una retta dei numeri data. Per prima cosa, conviene confrontare le frazioni tutte assieme, allo scopo di riordinarle (ad esempio in senso crescente). Per fare questo basta portare tutte le frazioni allo stesso denominatore (meglio che sia il m.c.m. dei denominatori di tutte le frazioni): ora le frazioni trasformate si ordinano dal numeratore più piccolo a quello più grande. Fatto questo si posiziona ogni frazione sulla retta dei numeri, usando il metodo visto precedentemente.

A volte la retta dei numeri su cui posizionare il gruppo di frazioni non è già disegnata, ma sta a te disegnarla. In questo caso ti potrebbe convenire di adattare la retta alle frazioni da metterci, invece di adattare le frazioni alla retta col metodo precedente! Che cosa significa? Quando devi posizionare delle frazioni su una retta possono capitare due casi:

  1. La retta è già disegnata e devi posizionarci sopra le frazioni.
    • Applica semplicemente ogni frazione all’intero e trova dove va disegnata, col sistema visto sopra. È importante che ricordi che ogni frazione fa per conto proprio, senza relazione con quello che hai fatto per le altre.
  2. La retta non è già disegnata e devi farla tu, poi posizionarci sopra le frazioni. Ovviamente potresti disegnare una retta a caso e ritrovarti come nel caso 1, poi procedere allo stesso modo. Questo però non è il modo più furbo. È meglio fare così:
    • Prima trasforma tutte le frazioni allo stesso denominatore, usando come nuovo denominatore il m.c.m. dei denominatori delle frazioni.
    • Adesso disegna semplicemente la retta dei numeri e metti l’unità dopo un numero di quadretti uguale all’m.c.m. calcolato sopra.
    • Ora che hai disegnato la retta, procedi esattamente come nel caso 1. Vedrai che tutte le frazioni cadranno su un quadretto preciso, mai nel mezzo di un quadretto! Per forza, perché l’unità è posizionata su un numero di quadretti multiplo dei denominatori, quindi la divisione per uno qualunque dei denominatori verrà sempre un numero intero!

Ad esempio, vogliamo posizionare su una retta dei numeri le frazioni 2/3, 5/6 e 5/4.

Caso 1: la retta su cui posizionarle è la seguente:

Freccia2_A

Allora procedo a determinare la posizione di 2/3 col righello (vedi esempio sopra).

Freccia2_b

Poi posiziono con lo stesso sistema anche 5/6.

Freccia2_c

Poi posiziono con lo stesso sistema anche 5/4.

Freccia2_d

Naturalmente tu puoi fare le tre operazioni sempre sulla stessa retta, io le ho separate solo per chiarezza. L’importante è ricordare che i disegni fatti per posizionare 2/3 vanno ignorati completamente nel posizionare 5/6 e 5/4. Ogni frazione si fa per conto proprio, come se le altre non esistessero.

Caso 2: la retta devi designartela tu:

m.c.m.(3;6;4) = 12 perciò 2/3 → 8/12 e 5/6 → 10/12 e 5/4 → 15/12

Allora disegno una retta dei numeri in cui l’unità sia dopo 12 quadretti dall’origine.

Freccia3_a

Poi procedo come nel caso 1, ma ora 2/3 (8/12) si trova esattamente sul quadretto 8, perché 2/3 di 12 quadretti fa 8 quadretti. 5/6 (10/12) si trova esattamente sul quadretto 10, perché 5/6 di 12 quadretti fa 10 quadretti. Infine 5/4 (15/12) si trova esattamente sul quadretto 15, perché 5/4 di 12 quadretti fa 15 quadretti.

Freccia3_b

Calcoli con le frazioni

Abbiamo visto che le frazioni sono un modo di scrivere i numeri razionali, che di solito sono numeri decimali. Allora ha senso sommare, sottrarre, moltiplicare, dividere fra loro due frazioni: quello che intendiamo fare, infatti, è semplicemente sommare, sottrarre, moltiplicare, dividere fra loro i due numeri razionali decimali che corrispondono a quelle frazioni. Il vantaggio di fare questa operazione fra le frazioni è, come abbiamo già detto, che le operazioni si fanno con numeri interi.

Ormai dovrebbe essere una cosa naturale per te, comunque è meglio sottolineare questo aspetto: visto che le operazioni fra frazioni sono solo una procedura alternativa per non doverle fare fra i decimali corrispondenti, tutte le proprietà degli operatori valgono allo stesso, modo anche quando gli operandi sono frazioni.

Fai moltissima attenzione: prima di svolgere un’operazione fra frazioni, controlla sempre se le frazioni operando si possono semplificare. In più, dopo aver svolto l’operazione, controlla sempre se si può semplificare anche il risultato.

Addizione e sottrazione

Nel sommare o sottrarre due frazioni possono capitare due casi: o le frazioni hanno lo stesso denominatore, oppure no. Frazioni che hanno lo stesso denominatore fanno “fette di torta” uguali ed addizione e sottrazione sono molto facili. Nel caso, invece, che i denominatori siano diversi, bisogna “riportarli ad essere uguali”, usando una precisa tecnica.

I denominatori delle frazioni sono uguali.

Immagina di avere due strudel uguali e di dividere ognuno in 8 fette uguali. Se prendi 3 fette dal primo strudel (3/8), poi 2 fette della secondo strudel (2/8), al termine dell’operazione avrai preso 3/8 + 2/8 fette di strudel uguali, cioè 5 fette tutte uguali fra loro.

Strudel

L’ultima uguaglianza è vera solo perché le fette sono tutte uguali, cioè vale che uno scacchetto dello strudel rosso è identico ad uno scacchetto dello strudel blu. Quindi è importantissimo notare che le 5 fette sono tutte uguali (sono tutte grandi 1/8 di strudel), perciò posso dire che le 5 fette sono i 5/8 di uno strudel, perché prendere i 5/8 di uno dei due strudel, oppure 3/8 da uno + 2/8 dall’altro mi ha dato la stessa quantità. Allora, 3 fette di una misura + 2 fette della stessa misura = 5 fette ancora della stessa misura!
Hai fatto 3/8 + 2/8 = 5/8.

In pratica: per fare un’addizione od una sottrazione fra due frazioni che hanno lo stesso denominatore, si esegue l’operazione fra i numeratori, ma il denominatore deve restare lo stesso.

Osserva come si risolvono le operazioni dei seguenti esempi:

2/3 + 5/3 = 7/3 (non 7/6!!)

8/5 – 2/5 = 6/5 (non 6/0!!... che tra l’altro è un’operazione impossibile!)

I denominatori delle frazioni sono diversi.

Immagina di avere di nuovo due strudel uguali, ma di dividere il primo in 8 fette uguali, mentre il secondo in 16 fette uguali. Se prendi 3 fette del primo strudel (3/8), poi 2 fette del secondo strudel (2/16), al termine dell’operazione avrai 3/8 + 2/16 fette di strudel diverse!

È importantissimo notare che le 5 fette non sono tutte uguali (alcune sono grandi 1/8 di strudel, altre sono grandi 1/16 di strudel), perciò non posso dire né che ho 5/8 di strudel (non ho 5 fette tutte grandi 1/8 di strudel), né posso dire di avere 5/16 di strudel (non ho 5 fette tutte grandi 1/16 di strudel). Sommare 3 fette di un tipo con 2 di un altro non fa 5, perché è come sommare 3 mele con 2 pere: sai benissimo che questa è una cosa che non si fa!

Se ci pensi, in questo caso le fette del primo strudel sono grosse il doppio delle fette del secondo strudel, quindi 3 fette del primo strudel contano come 6 fette del secondo! Allora, invece di pensare di avere 3 fette prese dal primo strudel (3/8), puoi far finta di averne 6 prese dal secondo strudel (6/16). A queste aggiungi le 2 fette veramente prese dal secondo strudel (2/16). Allora non hai 3 + 2 = 5 fette miste, ma 6+2 = 8 (8/16) fette del secondo strudel!

In pratica: per fare un’addizione od una sottrazione fra due frazioni che hanno un diverso denominatore, prima si trasformano entrambe le frazioni allo stesso denominatore, poi si usa la procedura per le frazioni con lo stesso denominatore.

Osserva come si risolvono le operazioni dei seguenti esempi:

2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12 (non 5/7, né 5/4, né 5/3!!)

4/3 – 1/2 = 8/6 – 3/6 = 5/6 (non 3/1, né 3/3, né 3/2!!)

Di solito, per un puro motivo pratico, una addizione (sottrazione) di frazioni si scrive con un solo denominatore ed una sola linea di frazione, sopra la quale si mettono tutti i numeratori. Ovviamente, non è assolutamente obbligatorio, ma di solito i calcoli degli esempi di prima li troveresti scritti in questo modo: Il motivo pratico, naturalmente, è quello di non dover riscrivere tante volte lo stesso denominatore e anche di “tenere raccolte” insieme le frazioni che sono state trasformate per fare la somma, o la differenza.

In pratica: se le frazioni hanno già lo stesso denominatore, non serve a niente raccoglierle in un’unica linea di frazione. Ti conviene eseguire direttamente la somma o la differenza.

Fai attenzione: anche se gli operandi sono frazioni già semplificate, il risultato di una addizione, o di una sottrazione, può benissimo venire una frazione non semplificata. Devi sempre controllare se è necessario ridurre i risultati.

Esempio: 2/3 + 1/3 = 3/3 che è semplificabile, anche se 2/3 ed 1/3 non lo sono!

Moltiplicazione

In teoria, la moltiplicazione fra frazioni è molto semplice: basterebbe moltiplicare fra loro i numeratori e fra loro i denominatori. Per esempio:

In alcuni casi, come in questo esempio, il risultato finale è semplificabile. Per evitare di eseguire moltiplicazioni fra numeri grandi e poi semplificare la frazione risultante, si utilizza la procedura di semplificare le frazioni prima di eseguire la moltiplicazione (che poi è proprio quello che dovresti fare sempre!). Questa procedura si basa sul fatto che in una catena di moltiplicazioni e divisioni si può spostare un operatore col suo operando destro in qualunque posizione della catena.

La scrittura dell’esempio in realtà vorrebbe dire 7:3·6:14, cioè:

prendi 7, dividi per 3, poi moltiplica per 6, poi dividi per 14.

In base alle proprietà delle espressioni, si possono spostare gli operatori assieme al proprio operando destro scrivere l’espressione in diversi modi:

7:14·6:3 cioè prendi 7 e dividilo per 14, poi moltiplica per 6 e poi dividi per 3.

7·6:3:14 cioè prendi 7 e moltiplicalo per 6, poi dividi per 3 e poi dividi per 14.

6:3·7:14 cioè prendi 6 e dividilo per 3, poi moltiplica per 7 e poi dividi per 14.

ed anche altri...

Se guardi il secondo modo, non hai fatto altro che semplificare il numeratore di una delle frazioni della catena di fattori per il denominatore dell’altra. Questa procedura si chiama “semplificazione in croce”. Il nome deriva dal fatto che si può semplificare il numeratore di una delle frazioni col denominatore di qualsiasi altra frazione (che sia un fattore di quella stessa moltiplicazione).

In pratica: “semplificare in crocesignifica semplificare uno qualunque dei numeratori con uno qualunque dei denominatori di una stessa catena di fattori. Ricordati che “uno qualunque” comprende anche “il proprio” denominatore, cioè non devi per forza prendere il denominatore di un’altra delle frazioni. Invece non si può mai semplificare un numeratore con un altro numeratore, né un denominatore con un altro denominatore.

In pratica: dopo aver svolto una semplificazione in croce, il nuovo numeratore può partecipare ad ulteriori semplificazioni in croce con lo stesso denominatore, o con altri. Allo stesso modo il nuovo denominatore può partecipare ad ulteriori semplificazioni in croce con lo stesso numeratore, o con altri.

In pratica: per moltiplicare fra loro delle frazioni, si procede così:

  1. Esegui la “semplificazione in croce” degli operandi.
  2. Trova il numeratore del risultato, moltiplicando fra loro tutti i numeratori.
  3. Trova il denominatore del risultato, moltiplicando fra loro tutti i denominatori.

Fai attenzione: se la procedura di semplificazione in croce è svolta correttamente e completamente, il risultato non può essere una frazione ancora semplificabile. Se ti viene semplificabile, vuol dire che non hai visto che era ancora possibile semplificare qualcosa in croce prima di eseguire la moltiplicazione.

Frazione inversa

Definizione: presa una frazione qualsiasi, la sua “frazione inversa”, detta anche “frazione reciproca”, è quella frazione che si ottiene scambiando il numeratore col denominatore. “Invertire” una frazione significa calcolare la sua frazione inversa.

Fai estrema attenzione (ma proprio ESTREMA): cosa significa frazione inversa o reciproca è una cosa che si chiede sempre, fino anche all’esame di terza! Vedi bene di imparare il concetto come si deve.

Per esempio la frazione inversa, o reciproca, 3/5 di è 5/3, mentre la frazione inversa, o reciproca di 1/2 è 2/1, cioè il numero naturale 2.

Fai attenzione: perché si chiama frazione inversa? Se applichi la frazione 3/5 ad un intero e poi applichi, sulla parte ottenuta, la frazione 5/3, ottieni di nuovo l’intero di partenza! Allora, l’operatore 5/3 è l’inverso dell’operatore 3/5, nello stesso senso in cui l’operatore – è l’inverso dell’operatore + e l’operatore : è l’inverso dell’operatore ·. Infatti:

Osserva anche che moltiplicando una frazione per la sua inversa, a causa della semplificazione in croce, si ottiene sempre 1, cioè l’intero.

Per esempio 3/5 · 5/3 = 1.

Operatore frazione e moltiplicazione

Osserva la seguente situazione:

Calcola i 3/4 di 12 12 : 4 · 3 = 9
Moltiplica 12 per 3/4

Come puoi vedere, quando esegui la semplificazione in croce della moltiplicazioni, dividi il 12 col 4. Poi quando esegui la moltiplicazione vera e propria, moltiplichi il 3 col 3. Questa è esattamente la stessa sequenza di operazioni che fai quando applichi la frazione come operatore!

In pratica: anche se concettualmente "applicare una frazione" come operatore e "moltiplicare" un numero intero per una frazione sono due cose molto diverse, nei fatti entrambe le procedure danno lo stesso risultato.

Fai attenzione: visto che danno lo stesso risultato, puoi utilizzare una qualunque delle due procedure quando fai un calcolo. Usare la moltiplicazione però, permette di tenere i calcoli più raccolti ed ordinati e quindi è di gran lunga da preferire all’altra.

Per questo motivo, d’ora in poi quando dovrò calcolare una frazione di qualcosa, per esempio i 2/3 di 12, non scriverò mai più 2/3 di 12, ma sempre 2/3 · 12.

Divisione

Contrariamente alla divisione in N (fra numeri naturali), la divisione fra frazioni è molto semplice, in linea di principio:

In pratica: per risolvere una divisione fra frazioni si sostituisce l’operatore di divisione con uno di moltiplicazione E si inverte l’operando destro.

Fai molta attenzione: nota bene la presenza di quella e, in quanto è del tutto sbagliato scambiare solo il : con un ·, oppure fare solo l’inversione dell’operando destro; è necessario fare entrambe le cose.

Esempio: (dopo aver semplificato in croce)

Fai attenzione: non si può semplificare in croce nella divisione. Puoi semplificare in croce solo dopo averla trasformata in una moltiplicazione, perché dopo (e solo dopo) diventa una normale moltiplicazione!

Succede tutti gli anni che qualcuno, preso dall’entusiasmo della divisione fra frazioni, cominci ad invertire l’operando destro anche quando si trova di fronte ad una normale divisione fra interi. Ovviamente, dato che i numeri naturali sono un sottoinsieme delle frazioni, non è che sia sbagliato, è solo particolarmente stupido farlo! Per esempio: 10:5 lo puoi certamente scrivere come 10 · 1/5 e poi semplificare in croce e ottenere 2/1, cioè 2. Però che 10:5 faccia 2… è inutile commentare oltre.

Fai attenzione: è particolarmente furbo “convertire in frazioni” quelle divisioni fra interi che risulterebbero in un numero decimale.

Per esempio: 10 : 4 lo puoi risolvere e scrivere come 2,5 ma non è una buona idea. È molto più furbo scriverlo come 10/4 e poi semplificarlo in 5/2 e tenerselo così, come frazione.

Fai molta attenzione: in N gli operatori · e : sono sostanzialmente diversi, tanto che il · è sempre possibile, mentre il : no. In N non puoi procedere come in Q, perché l’inverso di un numero intero è sempre una frazione propria, cioè non è un numero intero! Invece, nell’insieme Q, · e : sono essenzialmente lo stesso operatore, tanto che puoi sostituire un’operazione di divisione con una di moltiplicazione (o viceversa). Il costo da pagare è la necessità di modificare opportunamente l’operando destro. Vedremo che questa non è una caratteristica strana degli operatori del secondo livello, ma ce l’hanno anche gli operatori del primo e del terzo livello!

Per esempio, gli operatori + e – si possono scambiare l’uno con l’altro “cambiando il segno” dell’operando destro (i numeri col segno meno fanno parte anche loro di un insieme più grande di N, ecco perché in N gli operatori + e – sembrano così diversi). Gli operatori potenza e radice si possono scambiare l’uno con l’altro invertendo l’operando destro (quindi anche questa operazione richiede almeno l’insieme Q, non è possibile in N ed è per questo che in N le potenze con esponente frazionario sembrano non avere senso).

In pratica: lavorando su insiemi numerici opportuni e trasformando in modo appropriato l’operando destro, qualsiasi operatore può essere sostituito dall’altro operatore del suo stesso livello.

Ad esempio:

l’operatore + è stato sostituito dall’operatore – ; l’operando destro “cambia segno”. L’operazione non è possibile in N, ma lo è in Z.
l’operatore : è stato sostituito dall’operatore · ; l’operando destro “si inverte”. L’operazione non è possibile in N, ma lo è in Q.
l’operatore radice è stato sostituito dall’operatore potenza; l’operando destro “si inverte”. L’operazione non è possibile in N, ma lo è quasi sempre in Q (e sempre in R).

Potenza e radice

La potenza e la radice di una frazione positiva sono molto semplici. Basta fare l’operazione indicata sia sul numeratore che sul denominatore.

Fai molta attenzione: l’unico errore che si può fare nel calcolare la potenza di una frazione e di non capire bene se la potenza va fatta di tutta la frazione, o del solo numeratore, o del solo denominatore. Devi guardare bene come è scritta.

significa: fai la potenza di esponente 2 di tutta la frazione. Allora
significa: fai la potenza di esponente 2 del solo numeratore. Allora
significa: fai la potenza di esponente 2 del solo denominatore. Allora
fai la radice di tutta la frazione. Allora
significa: fai la radice del solo numeratore. Allora
significa: fai la radice del solo denominatore. Allora